Finito ed infinito
Buon giorno a tutti.
Leggo:
«Definizione. Un sistema S si chiama infinito, se è equipotente a una sua parte propria;
nel caso opposto si chiama finito».
Cosi ha inizio il quinto paragrafo, Il finito e l’infinito, di un famoso libretto di
Richard_Dedekind (1831-1916) che il geometra e filosofo italiano Federigo Enriques fece
tradurre con il titolo Essenza e significato dei numeri. Con questa sua famosa definizione,
Dedekind capovolse un modo di pensare millenario. Si era sempre definito l’infinito a partire
dal finito, appunto come non-finito; ora, invece, è il finito che diventa il non-infinito.
Non riesco ad entrare nel concetto delle ultime due righe; o meglio non riesco a coglierne la differenza.
Fausto
Leggo:
«Definizione. Un sistema S si chiama infinito, se è equipotente a una sua parte propria;
nel caso opposto si chiama finito».
Cosi ha inizio il quinto paragrafo, Il finito e l’infinito, di un famoso libretto di
Richard_Dedekind (1831-1916) che il geometra e filosofo italiano Federigo Enriques fece
tradurre con il titolo Essenza e significato dei numeri. Con questa sua famosa definizione,
Dedekind capovolse un modo di pensare millenario. Si era sempre definito l’infinito a partire
dal finito, appunto come non-finito; ora, invece, è il finito che diventa il non-infinito.
Non riesco ad entrare nel concetto delle ultime due righe; o meglio non riesco a coglierne la differenza.
Fausto
Risposte
Hai ragione. Chiudo la conversazione che mi sembra esaurita. Se volete “chiacchierare” fatelo via mp o aprite un vostro post.
Una paginata intera di post in "spoiler".
Non mi ricordo di aver mai visto un simile obbrobrio
Non mi ricordo di aver mai visto un simile obbrobrio
[ot]j18eos, sono stato brusco, ma non voleva essere un attacco ad personam. Al di là dei toni, comunque, se uno dice determinate cose poi si deve aspettare che qualcuno non abbia un caxxxo di meglio da fare e risponda (è Agosto e piove) 
Se rileggi i post precedenti, ho tirato in ballo solo lo stretto necessario per provare a rispondere alle domande che mi hai posto te.[/ot]
Se rileggi i post precedenti, ho tirato in ballo solo lo stretto necessario per provare a rispondere alle domande che mi hai posto te.[/ot]
[ot]Giusto una mezza risposta: gli universi di Grothendieck(, così come i grafi e i quivers) li hai messo in mezzo tu, non io!
...e dato che scrivo e dico "minchiate", anche al di fuori di qui, ciò non ti autorizza ad essere aggressivo; magari avresti potuto correggermi, cosa che non hai fatto, dato che sei limitato a segnalarmi "la minchiata".[/ot]
...e dato che scrivo e dico "minchiate", anche al di fuori di qui, ciò non ti autorizza ad essere aggressivo; magari avresti potuto correggermi, cosa che non hai fatto, dato che sei limitato a segnalarmi "la minchiata".[/ot]
[ot]
Non è questione di nominare le categorie, è questione di dire minchiate e aspettarsi che nessuno dica "ba" (prassi piuttosto diffusa in questo forum).
Questo non c'entra assolutamente niente con il discorso fatto fino ad ora; il concetto di universo di Grothendieck serve per lavorare con le categorie mantenendo un fondamento insiemistico.Sull'opportunità di fondare la matematica sulle categorie, troverai opinioni contrastanti anche tra i categoristi.
Se questo per te è chiaro, bella per te.[/ot]
...e io francamente non capisco perché ogni volta che si tocchi l'argomento "teorie delle categorie", senza suonare e ballare la tamorra e la pizzicata, ci siano delle alzate di scudi da parte di qualcuno!
Non è questione di nominare le categorie, è questione di dire minchiate e aspettarsi che nessuno dica "ba" (prassi piuttosto diffusa in questo forum).
So che ci sono dibattiti, studi e quant'altro per usare la TdC al posto della teoria degli insiemi; ma questi sono discorsi che non mi suscitano alcun interesse, al meno per adesso...
Questo non c'entra assolutamente niente con il discorso fatto fino ad ora; il concetto di universo di Grothendieck serve per lavorare con le categorie mantenendo un fondamento insiemistico.Sull'opportunità di fondare la matematica sulle categorie, troverai opinioni contrastanti anche tra i categoristi.
ho già scritto, e forse è meglio che lo ripeta in termini ancòra più chiari: esistono categorie, IMHO, talmente astratte che il lemma di Yoneda, restando valido o vero od applicabile o quel che te pare, non lo trovo utile al punto da fornire ulteriori informazioni utili sugli oggetti della categoria stessa.
Se questo per te è chiaro, bella per te.[/ot]
[ot]...e io francamente non capisco perché ogni volta che si tocchi l'argomento "teorie delle categorie", senza suonare e ballare la tamorra e la pizzicata, ci siano delle alzate di scudi da parte di qualcuno!
Non ho nulla contro la TdC, la uso nei limiti che mi serve per lavorare e per studiare geometria algebrica e dintorni; al momento non ho motivi né per contrastarla e né per studiarla. Infatti, ne so quanto basta; e nulla di più. So che ci sono dibattiti, studi e quant'altro per usare la TdC al posto della teoria degli insiemi; ma questi sono discorsi che non mi suscitano alcun interesse, al meno per adesso...
Veniamo alle tue domande:
[list=1]
[*:2713myv8]cos'è un oggetto matematico? E che ne so! Di sicuro il mio gatto non è un oggetto matematico, e non credo che lui abbia voglia di essere inserito in una \(\displaystyle\mathbf{Cat}\)egoria e ivi lasciarlo giocare.[/*:m:2713myv8]
[*:2713myv8]ho già scritto, e forse è meglio che lo ripeta in termini ancòra più chiari: esistono categorie, IMHO, talmente astratte che il lemma di Yoneda, restando valido o vero od applicabile o quel che te pare, non lo trovo utile al punto da fornire ulteriori informazioni utili sugli oggetti della categoria stessa.[/*:m:2713myv8][/list:o:2713myv8][/ot]
Non ho nulla contro la TdC, la uso nei limiti che mi serve per lavorare e per studiare geometria algebrica e dintorni; al momento non ho motivi né per contrastarla e né per studiarla. Infatti, ne so quanto basta; e nulla di più. So che ci sono dibattiti, studi e quant'altro per usare la TdC al posto della teoria degli insiemi; ma questi sono discorsi che non mi suscitano alcun interesse, al meno per adesso...
Veniamo alle tue domande:
[list=1]
[*:2713myv8]cos'è un oggetto matematico? E che ne so! Di sicuro il mio gatto non è un oggetto matematico, e non credo che lui abbia voglia di essere inserito in una \(\displaystyle\mathbf{Cat}\)egoria e ivi lasciarlo giocare.[/*:m:2713myv8]
[*:2713myv8]ho già scritto, e forse è meglio che lo ripeta in termini ancòra più chiari: esistono categorie, IMHO, talmente astratte che il lemma di Yoneda, restando valido o vero od applicabile o quel che te pare, non lo trovo utile al punto da fornire ulteriori informazioni utili sugli oggetti della categoria stessa.[/*:m:2713myv8][/list:o:2713myv8][/ot]
[ot]
Cosa vuol dire "tutti gli oggetti matematici?" Se leggo la tua domanda letteralmente, la risposta è sì: se prendi una collezione di oggetti a casaccio li puoi sempre sistemare nella categoria che ha per oggetti la collezione e per morfismi le identità.
Se la domanda invece è, dato un certo grafo di oggetti, ho sempre una categoria? La risposta è banalmente no. (Una cosa carina è che c'è un aggiunto sinistro al dimenticante da Cat a Quiver).
Qui il punto è completamente di altra natura, ed ha a che fare col paradosso di Russell. Di solito si prendono le categorie piccole rispetto a un certo universo di Grothendieck. Non ho capito sinceramente cosa c'entri questo col discorso di Yoneda.[/ot]
ma tutti gli oggetti matematici sono sistemabili in una categoria?
Cosa vuol dire "tutti gli oggetti matematici?" Se leggo la tua domanda letteralmente, la risposta è sì: se prendi una collezione di oggetti a casaccio li puoi sempre sistemare nella categoria che ha per oggetti la collezione e per morfismi le identità.
Se la domanda invece è, dato un certo grafo di oggetti, ho sempre una categoria? La risposta è banalmente no. (Una cosa carina è che c'è un aggiunto sinistro al dimenticante da Cat a Quiver).
tutte le categorie formano una categoria?Ricordo che la risposta è positiva ed abbastanza delicata, e richiede un po' di lavoro.
Qui il punto è completamente di altra natura, ed ha a che fare col paradosso di Russell. Di solito si prendono le categorie piccole rispetto a un certo universo di Grothendieck. Non ho capito sinceramente cosa c'entri questo col discorso di Yoneda.[/ot]
@Ancona[ot]Mi sono espresso male sul lemma di Yoneda; e correggo anche nel post originale: il lemma di Yoneda vale in ogni categoria, ma tutti gli oggetti matematici sono sistemabili in una categoria? Per esempio e vado a memoria: tutte le categorie formano una categoria? Ricordo che la risposta è positiva ed abbastanza delicata, e richiede un po' di lavoro. A tal punto che la domanda, almeno per me, diventa: quanto resta illuminante il lemma di Yoneda con quest'ultimo esempio?
Riguardo ad Hardy, IMHO, lo vedo così platonico che aberrava qualsiasi utilità pratica della matematica nella vita reale; al pari del mio primo docente di algebra, che diceva:"L'infinito non esiste. Studio i gruppi a sostegno infinito; per cui sono sicuro che studio oggetti matematici che non esistono". (NdR. Felice lui!)
E specifico, che non stavo facendo alcun confronto tra formalisti e platonici!, ma solo che esistono "un'infinità" di modi platonici di fare matematica.[/ot]
Riguardo ad Hardy, IMHO, lo vedo così platonico che aberrava qualsiasi utilità pratica della matematica nella vita reale; al pari del mio primo docente di algebra, che diceva:"L'infinito non esiste. Studio i gruppi a sostegno infinito; per cui sono sicuro che studio oggetti matematici che non esistono". (NdR. Felice lui!)
E specifico, che non stavo facendo alcun confronto tra formalisti e platonici!, ma solo che esistono "un'infinità" di modi platonici di fare matematica.[/ot]
[ot]
A parte che, da come hai scritto, sembra quasi che il Lemma di Yoneda sia una convinzione di Grothendieck&Yoneda e non un teorema di Yoneda. Comunque, anche interpretando quello che hai scritto in modo ragionevole, non si capisce proprio cosa c'entri con lo (pseudo)dualismo tra platonici e formalisti. Secondo me, non c'entra veramente nulla, ma nulla. Anche il discorso su Hardy non si capisce bene come dovrebbe essere interpretato, uno che fa matematica pura dovrebbe essere platonico?
Comunque, al di là degli esempi, sono d'accordo quanto detto da j18eos: ci sono un migliaio di modi diversi in cui si può essere platonici o formalisti[/ot]
Yoneda e Grothendieck, che sono convinti (non a torto, ma entro certi limiti) che un oggetto matematico (in senso categoriale) è univocamente determinato, meno di isomorfismi, dai morfismi che partono da esso ed arrivano negli altri oggetti (della categoria stessa )
A parte che, da come hai scritto, sembra quasi che il Lemma di Yoneda sia una convinzione di Grothendieck&Yoneda e non un teorema di Yoneda. Comunque, anche interpretando quello che hai scritto in modo ragionevole, non si capisce proprio cosa c'entri con lo (pseudo)dualismo tra platonici e formalisti. Secondo me, non c'entra veramente nulla, ma nulla. Anche il discorso su Hardy non si capisce bene come dovrebbe essere interpretato, uno che fa matematica pura dovrebbe essere platonico?
Comunque, al di là degli esempi, sono d'accordo quanto detto da j18eos: ci sono un migliaio di modi diversi in cui si può essere platonici o formalisti[/ot]
@mgrau[ot]Faccio solo due esempi famosi:
[*:34hlqr0u]Hardy che produceva matematica "inutile" ai fini pratici, nel senso che lo vedo così platonico che aberrava ogni utilità pratica della matematica;[/*:m:34hlqr0u]
[*:34hlqr0u]Yoneda e Grothendieck, che sono convinti (non a torto, ma entro certi limiti) che un oggetto matematico (in senso categoriale) è univocamente determinato, meno di isomorfismi, dai morfismi che partono da esso ed arrivano negli altri oggetti (della categoria stessa). Questo è il lemma di Yoneda. Per limiti intendo: tutto in matematica è formulabile in una categoria? E se sì, quanto diventa illuminante il lemma di Yoneda?[/*:m:34hlqr0u][/list:u:34hlqr0u][/ot]
"j18eos":
[ot]Tanto per confondere di più le idee: pure tra i matematici platonici ci sono profonde differenze filosofiche...[/ot]
Potresti provare a illustrarcene qualcuna? (parlo sul serio, non so se c'è una faccina corrispondente...)
[ot]Tanto per confondere di più le idee: pure tra i matematici platonici ci sono profonde differenze filosofiche...[/ot]
[ot]
"mgrau":Se non vuoi essere platonico, sii Kantiano/Schopenaueriano/Nietzscheano: l'uomo impone alla realtà le sue forme a priori, tutto è in prospettiva a qualcuno che giudica; la natura? fa quel che vuole, noi interpretiamo. E questo è particolarmente significativo per la Matematica: è un qualcosa di già dato e i Matematici sono sacerdoti che apprendono qualcosa, oppure la Matematica è una cosa nostra, perché noi siamo fatti così? Oppure i Matematici sono creatori, al pari di un Musicista, Artista o Scrittore? (Ti ricordi che parlai di "esistenza in senso ..."?)
Ma c'è qualche matematico non platonico?
"mgrau":Lo so, avrei tanto voluto dedicargli una discussione articolata, ma non ho avuto il tempo (estate oltre che calda, preso a destra e manca); spero a fine di questo mese di concludere cose iniziate e iniziarne di nuove...[/ot]
(Ho provato altre volte a suscitare una discussione sul concetto di esistenza (in particolare degli oggetti matematici), con poco successo... altro tentativo?)
"caulacau":
Ma sembrava, dal tuo intervento, che si potesse fare matematica senza ricorrere alla nozione di infinito; questo è parecchio falso, come sa chi ha fatto almeno una derivata in vita sua.
Ovviamente lungi da me pensare questo. Hai ragione, io mi riferivo esattamente all'aritmetica dei cardinali, ma questo non presuppone che uno ignori la teoria degli insiemi, essa fa parte del bagaglio di tutti i matematici, che la studiano nei primi anni di corso...
"caulacau":
Detto questo, spero tu ti renda conto che una persona che si occupa di calcolo delle variazioni e GMT non ha la minima autorità riguardo a un problema di fondazioni, né la sensibilità per capire l'importanza di alcune questioni che sembrano lana caprina perché distanti dal proprio lessico quotidiano.
Non mi conosci, quindi non sai che tipo di sensibilità ho rispetto a problemi di fondamenti, e non sai ad esempio che ho anche insegnato storia dell'analisi e tenuto delle conferenze sui fondamenti della matematica. Se ti limiti a dire che non ho pubblicazioni scientifiche su questi argomenti questo è un dato di fatto, ma l'attività di un ricercatore non si limita alle pubblicazioni scientifiche, e dovresti saperlo.
Puoi fare un intero corso di laurea in matematica, un dottorato e fare il ricercatore senza sapere che cosa è l'aritmetica transfinita, questo è un dato di fatto.Il fatto è che non è chiaro cosa intendessi con "aritmetica transfinita"; se intendi l'aritmetica dei cardinali (ossia lo studio della struttura di anello della classe dei numeri cardinali), sì, questo è vero (sebbene un matematico che ignora completamente la teoria degli insiemi farebbe meglio, almeno, a non fare matematica pura). Ma sembrava, dal tuo intervento, che si potesse fare matematica senza ricorrere alla nozione di infinito; questo è parecchio falso, come sa chi ha fatto almeno una derivata in vita sua.
Detto questo, spero tu ti renda conto che una persona che si occupa di calcolo delle variazioni e GMT non ha la minima autorità riguardo a un problema di fondazioni, né la sensibilità per capire l'importanza di alcune questioni che sembrano lana caprina perché distanti dal proprio lessico quotidiano. Forse se fosse Gromov, ma non è questo il caso.
Cosa c'entra con quello che ho detto io?Non lo so, perché non si capisce cosa hai detto: cosa hai detto?
è vero che la maggior parte dei matematici è 'platonica'. Non credono alla tesi del formalismo, del gioco linguistico.E se si volesse fare matematica proprio in forza della sua natura linguistica? Se, di più, il linguaggio matematico, come ausilio al pensiero, fosse il presupposto al linguaggio organizzato? Nell'indifferenza generale, e con una visione avanti di almeno mezzo secolo, nel 1958 Lambek ha dimostrato[1] che una versione semplificata della lingua inglese è una categoria $\mathcal E(\text{en_US})$, i cui oggetti sono i "tipi sintattici" definiti dal linguaggio; e -più in astratto- "parlare una lingua $L$" è un processo che equivale a "eseguire una computazione nel modello di type theory che la sintassi di $\mathcal E(L)$ costituisce". Questa equivalenza è talmente stretta che la deduzione naturale à la Gentzen diventa proprio la riduzione di una frase $s$ alla sua forma normale.
E noi stiamo a parlare di Gauss († 1855!) e dell'infinito attuale e potenziale manco fossimo de Finetti? La matematica è completamente diversa da quella che Gauss faceva e pensava. Perlomeno, quella moderna
Certo Gauss scriveva in altri tempi, poi di matematica ce ne è stata tanta altra, ci si può riflettere se nella matematica più moderna l'infinito entri in maniera 'essenziale' al di fuori della teoria degli insiemi, o non sia sempre ricondotto al finito.Non solo lo fa, ma lo fa ineliminabilmente in analisi, algebra, geometria, teoria della dimostrazione, logica... E di nuovo, allora di cosa stiamo a parlare?
[1] : https://www.cs.cmu.edu/~fp/courses/1581 ... mbek58.pdf
"otta96":
Infatti Gauss diceva (quando ancora non era stata sviluppata la teoria degli insiemi da Cantor e company) che l'infinito in matematica è solo un gioco di parole, e io sono d'accordo con lui nel senso che penso che di infinito in matematica ci sia solo quello della teoria degli insiemi.
Io trovo questa riflessione di otta96 (e di Gauss, in subordine
)interessante. (Anzi, otta, se ti ricordassi dove Gauss l'ha scritta questa cosa mi farebbe piacere leggere la citazione).Certo Gauss scriveva in altri tempi, poi di matematica ce ne è stata tanta altra, ci si può riflettere se nella matematica più moderna l'infinito entri in maniera 'essenziale' al di fuori della teoria degli insiemi, o non sia sempre ricondotto al finito. Non lo so.
E' vero che nella matematica fino ai tempi di Gauss l'infinito attuale non c'è, ad esempio anche quando si parla di somme infinite, cioè di serie numeriche, l'espressione 'somma infinita' è un pour parler, un modo di dire, un gioco di parole, come dice Gauss, soprattutto una volta avuta le definizione di limite, è in realtà un limite. Quindi un infinito potenziale, come dicevamo sopra addomesticato al finito, un trucco, come diceva Luca Lussardi, per domare un concetto ribelle come l'infinito.
Non so nella matematica successiva. Ad esempio, che dire degli spazi vettoriali a dimensione infinita?
"caulacau":
Ci sono teorie che non hanno modelli finiti.
Cosa c'entra con quello che ho detto io?
Certo che è più complicato, caulacau, non è una posizione filosofica, è solo una battutta che si fà spesso sull'atteggiamento, per lo più implicito, dei matematici. I quali, per lo più, non stanno tanto a tormentarsi su formalismo e platonismo. Che però contiene un elemento di verità, i matematici possono sentire che c'è un 'contenuto' reale nel pensiero matematico.
Un passo da uno scritto che ho letto di recente di un filosofo francese che si è molto occupato di matematica, Alain Badiou: "[...] è vero che la maggior parte dei matematici è 'platonica'. Non credono alla tesi del formalismo, del gioco linguistico. Credono, invece, che gli oggetti o le strutture matematizzabili, in un certo senso 'esistano'. Da dove viene questa convinzione? Dal fatto che essi hanno ben presente l'esperienza di un 'qualcosa' che resiste loro quando fanno matematica; si scontrano con una realtà difficile e ribelle. [...] La natura esatta di questo reale è, però, tutt'altra faccenda[nota]Alain Badiou, Elogio delle matematiche[/nota]."
Però qui stiamo andando off topic, non era questo l'argomento proposto da Fausto.
Un passo da uno scritto che ho letto di recente di un filosofo francese che si è molto occupato di matematica, Alain Badiou: "[...] è vero che la maggior parte dei matematici è 'platonica'. Non credono alla tesi del formalismo, del gioco linguistico. Credono, invece, che gli oggetti o le strutture matematizzabili, in un certo senso 'esistano'. Da dove viene questa convinzione? Dal fatto che essi hanno ben presente l'esperienza di un 'qualcosa' che resiste loro quando fanno matematica; si scontrano con una realtà difficile e ribelle. [...] La natura esatta di questo reale è, però, tutt'altra faccenda[nota]Alain Badiou, Elogio delle matematiche[/nota]."
Però qui stiamo andando off topic, non era questo l'argomento proposto da Fausto.
"gabriella127":
se un matematico fa ricerca pensando che quello di cui si occupa è mero gioco formale gli viene la depressione
(per non parlare della visione retorica della scienza: è verità scientifica ciò che viene accettato dalla comunità degli scienziati
E' un po' più complicato di così...
"caulacau":
Qualsiasi definizione di "matematica ordinaria" che mi viene in mente non rende vero questo enunciato.
Puoi fare un intero corso di laurea in matematica, un dottorato e fare il ricercatore senza sapere che cosa è l'aritmetica transfinita, questo è un dato di fatto. Non puoi fare tutto ciò senza sapere cosa è una derivata parziale, cosa è una conica o un piano tangente o un gruppo. E poi io parlavo di applicazioni al di fuori della matematica.
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