Esempio: ragionamento induttivo-deduttivo
Buonasera a tutti.Vorrei porre una domanda.Quale esempio potrei fornire a degli studenti di scuole superiori riguardo al ragionamento induttivo-deduttivo? Precisamente, avrei bisogno di qualche esempio dell'induttivo che faccia riferimento precisamente a qualche argomento di MATEMATICA...Su internet ho trovato esempi ma tramite l'utilizzo di proposizioni,frasi.
Per il deduttivo avrei pensato di proporre l'equazione ax^2 + bx + c = 0,che,una volta capita e memorizzata la sua risoluzione,dovrebbe essere facile da applicare...Lo specifico a cui si dovrebbe arrivare sarebbe quello ad esempio di saper riconoscere che quando ci si trova davanti ad equazioni pure o spurie cioè de tipo ax^2 + c, oppure ax^2 + bx, siano equazioni di secondo grado anche esse e quindi procedere con il discriminante ed analizzare i vari casi (delta >0,<0,=0).
Grazie in anticipo a tutti.
Per il deduttivo avrei pensato di proporre l'equazione ax^2 + bx + c = 0,che,una volta capita e memorizzata la sua risoluzione,dovrebbe essere facile da applicare...Lo specifico a cui si dovrebbe arrivare sarebbe quello ad esempio di saper riconoscere che quando ci si trova davanti ad equazioni pure o spurie cioè de tipo ax^2 + c, oppure ax^2 + bx, siano equazioni di secondo grado anche esse e quindi procedere con il discriminante ed analizzare i vari casi (delta >0,<0,=0).
Grazie in anticipo a tutti.
Risposte
Sì,intendevo per quanto concerne la questione deduttiva, NON l'induttiva 
.No no, lasciamo i gusti da parte! 
.Grazie ancora! Saluti
.No no, lasciamo i gusti da parte! .Grazie ancora! Saluti
"gi88":
Allora forse ho interpretato male "soluzioni dell'equazione di secondo grado sono legate alla posizione di una parabola rispetto all'asse x"!? Cosa intendevi con ciò?Non una visualizzazione grafica,con l'utilizzo della parabola?
Lì, cioè nel caso deduttivo, hai interpretato bene: l'idea era che, partendo dall'equazione, si può arrivare alla visualizzazione geometrica della faccenda.
Però, dal lato induttivo, dell'uso di strumenti analitici non ne avverto la necessità.
Comunque, de gustibus: se ti piace oltremodo far di conto pure per questioni di questo tipo, fallo.
Aggiungo questo, sperando in un commento di gugo.
TERNE PITAGORICHE
Pensiamo a quadrati perfetti di numeri dispari, essi possono essere espressi come somma di due numeri consecutivi:
$4+5=9=3^2$
$12+13=25=5^2$
$24+25=49=7^2$
.
.
.
si nota che
$9+4^2=3^2+4^2=5^2$
$25+12^2=5^2+12^2=13^2$
$49+24^2=7^2+24^2=25^2$
.
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TERNE PITAGORICHE
Pensiamo a quadrati perfetti di numeri dispari, essi possono essere espressi come somma di due numeri consecutivi:
$4+5=9=3^2$
$12+13=25=5^2$
$24+25=49=7^2$
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si nota che
$9+4^2=3^2+4^2=5^2$
$25+12^2=5^2+12^2=13^2$
$49+24^2=7^2+24^2=25^2$
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Allora forse ho interpretato male "soluzioni dell'equazione di secondo grado sono legate alla posizione di una parabola rispetto all'asse x"!? Cosa intendevi con ciò?Non una visualizzazione grafica,con l'utilizzo della parabola?
Non ho mai parlato di Geometria Analitica (anche perché i numeri per Euclide erano ancora un tabù); quindi non vedo cosa c'entrino gli assi cartesiani.*
Ogni tanto, le "formule" devono lasciare il passo alla fantasia... E la Geometria, come diceva Steiner, è uno dei modi migliori per farlo.
__________
* Vero è che il problema, impostato nella maniera Analitica, è semplicissimo e si risolve in due minuti. Ma proprio per questo potresti lasciare la soluzione Analitica come "esercizio".
Ogni tanto, le "formule" devono lasciare il passo alla fantasia... E la Geometria, come diceva Steiner, è uno dei modi migliori per farlo.
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* Vero è che il problema, impostato nella maniera Analitica, è semplicissimo e si risolve in due minuti. Ma proprio per questo potresti lasciare la soluzione Analitica come "esercizio".
Buongiorno.No non si tratta di una classe,studio ancora,quindi per l'insegnamento ce ne vorrà di tempo (e con questo futuro,ho qualche dubbio!!!).Anch'io in un primo momento avevo pensato maggiormente alla visualizzazione grafica sul sistema di assi cartesiani,opterò per questo molto probabilmente 
.Mi piace molto anche l'esempio dei triangoli isosceli.Grazie per l'aiuto!Saluti
.Mi piace molto anche l'esempio dei triangoli isosceli.Grazie per l'aiuto!Saluti
Certo, insegnamo ai bambini ad applicare inutili regole di calcolo fin dalla culla, così certamente impareranno ad amare la Matematica. 
Dopo la nota sarcastica, veniamo al sodo.
Per il metodo deduttivo, perché non far vedere come le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono legate alla posizione di una parabola rispetto all'asse \(x\)?
Mi sembra una cosa più sensata; altrimenti specializzare le formule per i vari tipi di equazione diventa oltremodo noioso.
Per l'induttivo, invece, credo sia meglio andare su qualcosa di Geometria, piuttosto che di Algebra.
Ad esempio, triangoli isoceli.
Fai disegnare tanti triangoli isosceli* e fagli notare che tutti quanti tali triangoli hanno i due angoli adiacenti alla base uguali (ovviamente, glieli fai misurare col goniometro).
Da ciò, trai la congettura: gli angoli adiacenti alla base di ogni triangolo isoscele sono uguali. Questo è ragionamento induttivo: dagli esempi concreti al fatto generale.
Poi, se puoi, gli provi la congettura, che non è difficile ma nemmeno immediata.**
Oppure, isoperimetria: quale rettangolo di fissato perimetro ha l'area massima?
Anche qui, fissi ad esempio \(P=4,16,32, 40 \text{cm}\) e gli fai disegnare i quadrati che hanno perimetro \(P\) e tre o quattro rettangoli aventi perimetro \(P\) (quindi dovranno disegnare una ventina di rettengoli).
Gli fai calcolare le aree e gli fai notare che l'area del quadrato è maggiore dell'area dei rettangoli per ogni valore di \(P\).
Da ciò, trai la congettura: tra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, il quadrato è quello di area massima. (Questa è la cosiddetta proprietà isoperimetrica del quadrato; ovviamente, si può sostituire la parola "parallelogramma" a "rettangolo" senza minare la validità della proprietà...).
Poi, se puoi, gliela dimostri.
Ora, dato che non insegno (ancora!), non so che strumenti hanno a disposizione i tuoi alunni; però sono quasi sicuro che apprezzeranno di più qualcosa del genere (che possono visualizzare) al calcolo delle soluzioni dell'equazione di secondo grado in tutte le salse del mondo.
__________
*Lo dovrebbero saper fare; almeno io, alle medie, queste costruzioni riga e compasso le facevo in Educazione Tecnica.
** Infatti questa è la quinta proposizione degli Elementi di Euclide, detta pons asinorum poiché è la prima dimostrazione "difficile" del trattato.
Dopo la nota sarcastica, veniamo al sodo.
Per il metodo deduttivo, perché non far vedere come le soluzioni dell'equazione di secondo grado sono legate alla posizione di una parabola rispetto all'asse \(x\)?
Mi sembra una cosa più sensata; altrimenti specializzare le formule per i vari tipi di equazione diventa oltremodo noioso.
Per l'induttivo, invece, credo sia meglio andare su qualcosa di Geometria, piuttosto che di Algebra.
Ad esempio, triangoli isoceli.
Fai disegnare tanti triangoli isosceli* e fagli notare che tutti quanti tali triangoli hanno i due angoli adiacenti alla base uguali (ovviamente, glieli fai misurare col goniometro).
Da ciò, trai la congettura: gli angoli adiacenti alla base di ogni triangolo isoscele sono uguali. Questo è ragionamento induttivo: dagli esempi concreti al fatto generale.
Poi, se puoi, gli provi la congettura, che non è difficile ma nemmeno immediata.**
Oppure, isoperimetria: quale rettangolo di fissato perimetro ha l'area massima?
Anche qui, fissi ad esempio \(P=4,16,32, 40 \text{cm}\) e gli fai disegnare i quadrati che hanno perimetro \(P\) e tre o quattro rettangoli aventi perimetro \(P\) (quindi dovranno disegnare una ventina di rettengoli).
Gli fai calcolare le aree e gli fai notare che l'area del quadrato è maggiore dell'area dei rettangoli per ogni valore di \(P\).
Da ciò, trai la congettura: tra tutti i rettangoli aventi lo stesso perimetro, il quadrato è quello di area massima. (Questa è la cosiddetta proprietà isoperimetrica del quadrato; ovviamente, si può sostituire la parola "parallelogramma" a "rettangolo" senza minare la validità della proprietà...).
Poi, se puoi, gliela dimostri.
Ora, dato che non insegno (ancora!), non so che strumenti hanno a disposizione i tuoi alunni; però sono quasi sicuro che apprezzeranno di più qualcosa del genere (che possono visualizzare) al calcolo delle soluzioni dell'equazione di secondo grado in tutte le salse del mondo.
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*Lo dovrebbero saper fare; almeno io, alle medie, queste costruzioni riga e compasso le facevo in Educazione Tecnica.
** Infatti questa è la quinta proposizione degli Elementi di Euclide, detta pons asinorum poiché è la prima dimostrazione "difficile" del trattato.
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