Dubbio

[servelet]

Ciao a tutti, ieri notte giocando con i numeri mi sono accorto per sbaglio che sottraendo da qualsiasi numero dall'uno al novantanove il suo inverso si ottiene sempre come risultato o nove o un multiplo di nove, esempio ( 57 - 75 = -18 oppure 81 - 18 = 63 ) qualcuno mi sa dare una spiegazione matematica a questa cosa, visto che io ho fatto solo la terza media e non ero una cima in matematica grazie.

[servelet]

Non ho capito nulla comunque ti ringrazio per la celere risposta sei stato gentilissimo

[gugo82]

Ogni numero da $0$ a $99$ si può scrivere nella forma $n=d*10+u*1$ in cui $d$ è la cifra delle decine ed $u$ quella delle unità (dunque $d$ ed $u$ sono simboli della sequenza $0,1,2,3,4,5,6,7,8,9$): ad esempio, $2=0*10+2*1$ e $53=5*10+3*1$.

Invertire le cifre del numero significa considerare il nuovo numero $n^\prime=u*10+d*1$: ad esempio, il numero a cifre invertite che corrisponde a $2$ è $2*10+0*1=20$ è quello che corrisponde a $53$ è $3*10+5*1=35$.

Chiarito ciò, calcoliamo $n-n^\prime$: sfruttando un po’ di calcolo letterale (ossi le proprietà commutativa, associativa e distributiva della somma), otteniamo:
\[
\begin{split}
n-n^\prime &=(d\cdot 10+u\cdot 1)-(u\cdot 10+d\cdot 1)\\
&=d\cdot 10+u\cdot 1-u\cdot 10-d\cdot 1\\
&=d\cdot 10-d\cdot 1+u\cdot 1-u\cdot 10\\
&=d\cdot (10-1)-u\cdot (10-1)\\
&=d\cdot 9-u\cdot 9\\
&=(d-u)\cdot 9
\end{split}
\]
Pertanto $n-n^\prime $ è un multiplo di $9$, cioè è divisibile per $9$ (perché sta nella tabellina della moltiplicazione).