Domanda geometrie non euclidee

[nato_pigro1]

Le geometrie non euclidee nascono nell'800 quando Gauss, Bolyai e Lobachevky, indipendente uno dall'altro provano a immaginare che il quinto postulato di Euclide, quelle delle parallele, sia falso, per vedere cosa succede, magari una contraddizione. Anzichè una nuova contraddizione trovarono una nuova geometria.
La mia domanda è: perchè scelsero proprio il quinto postulato? è un motivo storico? in passato infatti si era provato a dimostrarlo a parire dagli altri 4 perchè sembrava troppo complicato per essere un assioma. Oppure hanno non hanno scelto uno degli altri 4 perchè erano ritenuti indubitabili?
E poi, provando a prendere come falso un altro dei 5 assiomi, non più il quinto, si arriva ad una contraddizione? oppure a un'altra geometria anche se magari non interessante?...

[Luca.Lussardi]

Nello spazio euclideo le geodetiche sono le rette, non ci sono altre curve che sono geodetiche. In uno spazio non euclideo, in generale quindi in una varieta' riemanniana, le geodetiche sono le curve lungo le quali il vettore tangente si trasporta parallelamente a se stesso, ovvero non cambia direzione. Questa e' la definizione "fisica" di geodetica: se lascio andare un corpo non soggetto a nessuna forza, esso andra' lungo la geodetica.

[giacor86]

nosoxk, tu ti riferisci alle geodetiche. però anche le rette sono geodetiche. cioè le rette sono particolari geodetiche che si trovano solo nella geometria euclidea. però le geodetiche delle altre geometrie non è che puoi dire che sono un'altra cosa rispetto alle rette.. sono un concetto più generale, ma non una cosa diversa.

[Cheguevilla]

Si, Eulero è venuto prima degli altri.
Effettivamente è stato il primo a formulare una geometria non euclidea, anche se non era quella la sua intenzione.
Semplicemente, non ha contraddetto il terzo postulato, ha semplicemente assunto la non continuità dello spazio.

[manuelaoro]

ripeto: ho capito che tu volessi trasformare il IV postulato in un teorema..... e quindi ti dicevo di dimostrarlo....

ma lasciamo stare.... non ci siamo capiti....

[fields1]

Certo che è stato dimostrato che il quinto assioma è indipendente dagli altri quattro. E ripeto che non basta considerare i cinque postulati, ma la lista completa di Hilbert.

E confermo quello che ho detto: se N assiomi sono indipedenti e coerenti, sostituendo un assioma con la negazione si ottiene un sistema coerente.

[nato_pigro1]

ti riferisci al fatto che per Euclide la proprioetà determinante delle rette era di poter essere sempre prolungata al'infinito mentre ora la retta è un segmento infinito, appeana lo si pensa è infinito, non c'è bisogno di prolungarlo...?

[Sk_Anonymous]

Nelle geometrie non euclidee comq non si utilizza lo stesso concetto di retta che aveva in mente Euclide... Le "rette" non euclidee e quelle euclidee sono due cose ben diverse.

[nato_pigro1]

"fields":[quote="nato_pigro"]no, non ci capiamo.

Quindi io non è che voglio dimostrare il contrario del quarto assioma, volgio sapere se ne deriverebbe una geomtria coerente prendendo la sua negazione (esistono angoli retti diversi tra loro) come nuovo postulato al posto di quello vecchio.
Mi sono spiegato?

Per quanto riguarda gli assiomi della geometria Euclidea, ovviamente non sono più 5, ma molti di più e soltanto Hilbert ha dato la lista completa degli assiomi. Si dimostra infatti che l'unico modello possibile della lista di Hilbert è $RR^2$, con le vari nozioni di congruenza fra angoli, distanza ecc. definite nel solito modo.[/quote]

sisi... in molti, tra i quali Hilber hanno "aggiustato" gli assimo di Euclide, rendendoli più precisi. Comunque non è questo il punto.

"fields":
Siccome gli assiomi della geometria euclidea sono coerenti e mi sembra che sia stato dimostrato che sono indipendenti, prendendo un qualunque assioma e sostituendolo con la negazione si ottiene un sistema coerente. (Su questo vorrei però il conforto di uno più esperto di me in geometria, perché forse gli assiomi sono indipendenti a gruppi)

Non sono sicuro che sia stato dimostrato che sono indipendenti (ripeto: non ne sono sicuro)... cioè in molti hanno provato a vedere se il quinto deriva dagli altri 4, ma neussuno c'è riucito, non so però se ne esiste una dimostrazione...
e poi se esiste la distrazione che sono indipendenti ne consegue che "prendendo un qualunque assioma e sostituendolo con la negazione si ottiene un sistema coerente"?

[fields1]

"nato_pigro":no, non ci capiamo.

Quindi io non è che voglio dimostrare il contrario del quarto assioma, volgio sapere se ne deriverebbe una geomtria coerente prendendo la sua negazione (esistono angoli retti diversi tra loro) come nuovo postulato al posto di quello vecchio.
Mi sono spiegato?

Per quanto riguarda gli assiomi della geometria Euclidea, ovviamente non sono più 5, ma molti di più e soltanto Hilbert ha dato la lista completa degli assiomi. Si dimostra infatti che l'unico modello possibile della lista di Hilbert è $RR^2$, con le vari nozioni di congruenza fra angoli, distanza ecc. definite nel solito modo.

Siccome gli assiomi della geometria euclidea sono coerenti e mi sembra che sia stato dimostrato che sono indipendenti, prendendo un qualunque assioma e sostituendolo con la negazione si ottiene un sistema coerente. (Su questo vorrei però il conforto di uno più esperto di me in geometria, perché forse gli assiomi sono indipendenti a gruppi)

[nato_pigro1]

no, non ci capiamo.
Le geometrie non euclidee sono nato quando si è cominciato a mettere in dubbio il quinto postulato. Non è che si sia dimostrato il quinto postulato, altrimenti, come dici tu, è un teorema che sarebbe derivato dagli altri 4 assiomi, e quindi il quinto assioma come "assioma" sarebbe stato superfluo. Le non euclidee sono nate quando si è incominciato a negare questo quinto assioma: "no, per un punto esterno a una retta non passa una sola retta parallela alla prima" e da lì, prendendo questo assioma al posto del quinto originale di Euclide sono nate nuove teorie, che poi si sono rivelati coerenti, cioè senza contraddizioni con ciò chederiva dagli altri 4 assiomi.
Ora, è possibile creare nuove geometrie coerenti solo negando il quinto postulato o anche con gli altri postulati?

Quindi io non è che voglio dimostrare il contrario del quarto assioma, volgio sapere se ne deriverebbe una geomtria coerente prendendo la sua negazione (esistono angoli retti diversi tra loro) come nuovo postulato al posto di quello vecchio.
Mi sono spiegato?

[manuelaoro]

"goldengirl":un assioma nn va dimostrato questo è ovvio..... altrimenti si chiamerebbe teorema.....

credo di averti risposto nato_pigro

[nato_pigro1]

"giacor86":[quote="goldengirl"][quote="nato_pigro"]bè, ho capito che è assurdo negare una cosa del genere, (il quarto è "Tutti gli angoli retti sono uguali"), ma mettiamola ipoteticamente, anche se è inconcepibile: io dico che ci sono diversi tipi di angoli retti. Ora, questa affermazione va in qualche modo in contraddizione con gli altri assiomi? Se no, posso pensare la geometria che ne deriva come una geometria formalmente valida, anche se magari priva di ogni sigificato?

dimostra che ci sono diversi tipi di angoli retti e poi ne riparliamo

[/quote]


non è qui il punto goldengirl... non è che lo devi dimostrare (anche perchè allora a te posso chiedere di dimostrare che sono uguali, la difficoltà è la stessa).. se lo dimostri, confuti l'assioma e quindi cade la geometria euclidea. quello che dice nato_pigro è che se si dice: alcuni angoli retti sono diversi fra loro e lo si prende come ASSIOMA quindi verità indiscutibile, è possibile costruire una geometria coerente? secondo me si. magari mi sbaglio però si.[/quote]

giacor86... sei l'unico che mi capisce... ^_^

@goldengirl: non è che lo voglio dimostrare, se lo si potesse fare non sarebbe più un assima, e poi non è hce Gauss e co. abbiamo dimostrato il quinto postulato...

@cheguevilla: quindi Eulero ha provato a contraddire il terzo... ma Eulero non viene cronologicamente prima di Gauss e co.? allora è lui il primo che ha ipotizzato una geometria non euclidea?

[manuelaoro]

si ma questo concetto vale anche in una sfera?

http://www.dmf.bs.unicatt.it/~bibsoft/p ... /index.htm

[Sk_Anonymous]

@nnsoxke

V postulato: per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela a quella data.
questo è sempre vero?

Intuitivamente dico che è sempre vero , purchè per retta si intenda quella del piano e non qualcos'altro che non è una retta(una curva che sta su una superficie curva ecc.).

[manuelaoro]

forse ho capito male....
pensavo che lui volesse trasformare il IV postulato in un teorema...

un assioma nn va dimostrato questo è ovvio..... altrimenti si chiamerebbe teorema.....

"giacor86":se si dice che alcuni angoli retti sono diversi fra loro e lo si prende come ASSIOMA quindi verità indiscutibile, è possibile costruire una geometria coerente?

certo! ma solo se si dimostra che la teoria costruita a partire dall'assioma di nato_pigro è coerente...

il concetto è semplice: bisogna costruire teorie in cui valga il principio di non contraddizione....
in questo caso non può succedere che valga contemporaneamente il IV postulato e il suo contrario....

[giacor86]

"goldengirl":[quote="nato_pigro"]bè, ho capito che è assurdo negare una cosa del genere, (il quarto è "Tutti gli angoli retti sono uguali"), ma mettiamola ipoteticamente, anche se è inconcepibile: io dico che ci sono diversi tipi di angoli retti. Ora, questa affermazione va in qualche modo in contraddizione con gli altri assiomi? Se no, posso pensare la geometria che ne deriva come una geometria formalmente valida, anche se magari priva di ogni sigificato?

dimostra che ci sono diversi tipi di angoli retti e poi ne riparliamo

[/quote]


non è qui il punto goldengirl... non è che lo devi dimostrare (anche perchè allora a te posso chiedere di dimostrare che sono uguali, la difficoltà è la stessa).. se lo dimostri, confuti l'assioma e quindi cade la geometria euclidea. quello che dice nato_pigro è che se si dice: alcuni angoli retti sono diversi fra loro e lo si prende come ASSIOMA quindi verità indiscutibile, è possibile costruire una geometria coerente? secondo me si. magari mi sbaglio però si.

[caratheodory]

Negare "Tutti gli angoli retti sono uguali"
cosa potrebbe voler dire.. ?
Che ci sono diversi tipi di perpendicolarità ??

[manuelaoro]

"nato_pigro":bè, ho capito che è assurdo negare una cosa del genere, (il quarto è "Tutti gli angoli retti sono uguali"), ma mettiamola ipoteticamente, anche se è inconcepibile: io dico che ci sono diversi tipi di angoli retti. Ora, questa affermazione va in qualche modo in contraddizione con gli altri assiomi? Se no, posso pensare la geometria che ne deriva come una geometria formalmente valida, anche se magari priva di ogni sigificato?

dimostra che ci sono diversi tipi di angoli retti e poi ne riparliamo

"mirco59":Credo che validità si debba intendere come coerenza e non come buon senso.

infatti una teoria è coerente quando, da un assioma, non è possibile dimostrare contemporaneamente un teorema e la sua negazione.

@nnsoxke

V postulato: per un punto esterno ad una retta passa una e una sola retta parallela a quella data.
questo è sempre vero?

[mircoFN1]

Credo che validità si debba intendere come coerenza e non come buon senso. Le geometrie non euclidee si sono dimostrate, oltre che coerenti, anche feconde perchè sono utili in relatività generale a descrivere l'universo fisico nel quale quello che si avvicina di più a una retta è un raggio di luce.

ciao

[Sk_Anonymous]

Nel postulato si parla di rette, nelle geometrie non euclidee invece si tratta di spazi curvi a quanto ho capito , non della geometria del piano (ho solo cominciato a leggere qualcosa).
Negli spazi curvi però non si hanno più delle rette, non vedo dove sta la non validità del postulato.