Domanada sull'indecidibilità di Goedel
Il teorema dice:
Se un sistema formale S è consistente, allora esiste un enunciato V vero ma non dimostrabile in S
Ora, la mia domanda è: di un enunciato, che di crede vero (magari con dimostrazioni esterne al sistema) e indimostrabile all'interno del sistema, è possibile dimostare la sua indimostrabilità? e se è possibile, è possibile effettuare questa dimostrazione all'interno del sistema S o al di fuori?
Se un sistema formale S è consistente, allora esiste un enunciato V vero ma non dimostrabile in S
Ora, la mia domanda è: di un enunciato, che di crede vero (magari con dimostrazioni esterne al sistema) e indimostrabile all'interno del sistema, è possibile dimostare la sua indimostrabilità? e se è possibile, è possibile effettuare questa dimostrazione all'interno del sistema S o al di fuori?
Risposte
La dichiarazione di Gödel a questo proposito è stata: "Sono contento di essere riuscito a dimostrare fatti importanti nelle scienze, partendo da presupposti filosofici". Più o meno, chiaramente. Quindi i lavori direi che sono interamente matematici, come dice fields; il concetto di base, per Gödel, era filosofico.
Mah, io ho letto i lavori di Godel e parzialmente quello di Cohen e non vedo nulla di diverso da un qualunque lavoro di analisi, algebra, geometria o teoria dei numeri. Ci sono definizioni, teoremi, dimostrazioni, e questa mi sembra un definizione di matematica e non certo di filosofia. Certo la teoria degli insiemi e la logica sono di interesse ai filosofi. Ma quello che voglio dire è che non serve un piffero di filosofia per seguire i lavori di Godel e Cohen, proprio come non serve studiando la teoria dei gruppi o l'analisi matematica.
"fields":
Eh, Kroldar, non esageriamo...
Esageriamo, esageriamo. Pensa che il padre della logica è stato Aristotele... Ma sai, a volte il confine tra certe materie non è ben definito. Poi bisogna capire pure tu cosa intendi per "filosofia" e cosa intendo io
pure io faccio il 3° anno e se ho posto la domanda è perchè ne ho sentito parlare, mi sono appassionato e ho un po' approfondito, ma solo per il significato.
a quanto ne so goedel ha usato questa tecnica per dimostrare i suoi teoremi (indecidibilità e incompletezza) ma non per dimostrare l'indecidibilità di un enunciato.
Riprendendo quello che dice Kroldar, noi parliamo del significato di questi risultati squisitamente filosofico-matematico, non dei toeremi, del tutto logico-matematici. E finchè si parla di filosofia più meno tutti possonodire la loro... quindi non sirulta molto difficile... ^_^
@ Benedetta: se ti interessa leggiti "incompltezza" di Rebecca Goldstein (una filosofa), cerca di spiegare il teorema (a grandi linee), ma spiega soprattuto la portata devastante che ha generato.
"spassky":
Se non ricordo male, la dimostrazione si fa ricorrendo alla ingegnosa invenzione della "numerazione Godel".
Più o meno si tratta di una aritmetizzazione delle proposizioni interne al sistema formale in esame.
a quanto ne so goedel ha usato questa tecnica per dimostrare i suoi teoremi (indecidibilità e incompletezza) ma non per dimostrare l'indecidibilità di un enunciato.
Riprendendo quello che dice Kroldar, noi parliamo del significato di questi risultati squisitamente filosofico-matematico, non dei toeremi, del tutto logico-matematici. E finchè si parla di filosofia più meno tutti possonodire la loro... quindi non sirulta molto difficile... ^_^
@ Benedetta: se ti interessa leggiti "incompltezza" di Rebecca Goldstein (una filosofa), cerca di spiegare il teorema (a grandi linee), ma spiega soprattuto la portata devastante che ha generato.
"Kroldar":
Non è né fortuna né sfortuna... semplicemente a scuola non si trattano questi argomenti. Neppure all'università a dire il vero, se non in corsi avanzatissimi. La spiegazione è semplicissima: qui non siamo solo nel pieno della matematica, ma siamo sfociati ormai nella filosofia e certi concetti richiedono un enorme sforzo mentale per essere capiti appieno.
Eh, Kroldar, non esageriamo... I risultati di Cohen sono puramente matematici, non si sconfina per nulla nella filosofia. Per essere capiti e anche per essere solo affrontati, tuttavia, necessitano di una preparazione appronfondita in logica e teoria degli insiemi. Poi naturalmente si possono fare discussioni filosofiche sui risultati, ma queste vengono dopo i teoremi, proprio come nel caso ad esempio della meccanica quantistica ecc.
"Benedetta":
Sn una studentessa del 3°anno e qst argomento purtroppo non l'ho mai trattato (x mia fortuna o sfortuna...boh!)
Cmq, mi sn informata su vari siti in internet...
Non è né fortuna né sfortuna... semplicemente a scuola non si trattano questi argomenti. Neppure all'università a dire il vero, se non in corsi avanzatissimi. La spiegazione è semplicissima: qui non siamo solo nel pieno della matematica, ma siamo sfociati ormai nella filosofia e certi concetti richiedono un enorme sforzo mentale per essere capiti appieno.
"Benedetta":
proprio quì---->http://66.249.93.104/translate_c?hl=it&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Forcing_(mathematics)&prev=/search%3Fq%3Dforcing%2Bcohen%26hl%3Dit%26lr%3D
Purtroppo la traduzione non è venuta molto bene... si capisce ben poco
A chiunque interessi tale argomento consiglio vivamente il libro "Il mistero dell'alef", di cui c'è una recensione in una sezione di questo sito: https://www.matematicamente.it/libri/Il% ... l'alef.pdf
"Kroldar":
Cohen utilizzò un metodo chiamato "forcing", tuttavia ignora cosa sia. Magari se qualcuno lo sa e lo espone mi fa un grande favore.
Sn una studentessa del 3°anno e qst argomento purtroppo non l'ho mai trattato (x mia fortuna o sfortuna...boh!)
Cmq, mi sn informata su vari siti in internet...
proprio quì---->http://66.249.93.104/translate_c?hl=it&sl=en&u=http://en.wikipedia.org/wiki/Forcing_(mathematics)&prev=/search%3Fq%3Dforcing%2Bcohen%26hl%3Dit%26lr%3D
Cohen utilizzò un metodo chiamato "forcing", tuttavia ignora cosa sia. Magari se qualcuno lo sa e lo espone mi fa un grande favore.
Se non ricordo male, la dimostrazione si fa ricorrendo alla ingegnosa invenzione della "numerazione Godel".
Più o meno si tratta di una aritmetizzazione delle proposizioni interne al sistema formale in esame.
Più o meno si tratta di una aritmetizzazione delle proposizioni interne al sistema formale in esame.
ah.. ecco.. quindi non è proprio una cavolata dimostrare l'indecidibilità...
A dire il vero non ho un esempio da fornirti... tra l'altro non ho neanche guardato i link di Benedetta. La prima proposizione indecidibile che mi viene in mente è "L'ipotesi del continuo" di Cantor, la cui indecidibilità fu dimostrata parzialmente da Goedel e definitivamente da Cohen, anche se non ne ho mai letto la dimostrazione.
@ benedetta: ho letto proprio pochi giorni fa quei link ed è da lì che mi è venuto il dubbio...
@ Kroldar: puoi fornirmi un esempio? ad esempio (dai link di benedetta) c'è un enunciato indecidibile di Penrose, che si sa essere indecidibile, ma c'è la dimostrazione della sua indecidibilità?
@ Kroldar: puoi fornirmi un esempio? ad esempio (dai link di benedetta) c'è un enunciato indecidibile di Penrose, che si sa essere indecidibile, ma c'è la dimostrazione della sua indecidibilità?
Una proposizione è indecidibile in un sistema assiomatico quando è indipendente dagli assiomi... per dimostrare che una proposizione è indecidibile dunque si deve dimostrare che essa è indipendente da ciascun assioma del sistema assiomatico che si sta considerando, ovvero il fatto che tale proposizione sia vera o falsa non è in contraddizione con alcun assioma.
Dunque l'indimostrabilità è dimostrabile e non occorre uscire dal sistema assiomatico
Dunque l'indimostrabilità è dimostrabile
e non occorre uscire dal sistema assiomatico
dai un'okkiata qui--->http://www.readme.it/libri/Matematica/teorema%20di%20incompletezza.shtml
e qui--->http://www.readme.it/libri/Matematica/teorema%20di%20indecidibilit%C3%A0.shtml
e qui--->http://www.readme.it/libri/Matematica/teorema%20di%20indecidibilit%C3%A0.shtml
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