Divisione per 0

[DavideGenova1]

Carissimi amici,
mi scuso innanzi tutto per l'ignoranza e per il disturbo, ma non riesco a trovare da nessuna parte la risposta ad un quesito che mi sto ponendo. Ho fatto numerosissime ricerche in Internet, però il motore di ricerca mi sforna come risultati pagine di Yahoo Answers o forum simili dove si pongono domande in kυ3sTα l1nGu4 e si risponde (o nella stessa esotica lingua o in un'altra lingua dalla simile sintassi, per lo più indecifrabile, ma senza maiuscole e punteggiatura) riportando discutibili punti di vista personali in cui si confonde indeterminato, indefinito e tutto il resto. Ho addirittura trovato gente che cerca di dimostrare che 10/0=10
Vengo dal classico e non ho mai studiato analisi matematica fino a quando, poco tempo fa, ho deciso di cercare di colmare alcune mie gravi lacune nelle scienze esatte comprandomi un bel manuale, a livello universitario, di matematica (e anche di fisica e chimica), in modo di potermi tuffare nell'argomento, ricercando magari in rete definizioni date per scontate, anche se devo dire che il mio manuale, Istituzioni di Matematica di Michiel Bertsch, è molto chiaro, nonostante sia piuttosto succinto, e dà ben poco per scontato.
Mi sembra che sia corretto dire che, se $a=\lim_{n\to+\infty}a_n$ e $b=\lim_{n\to+\infty}b_n$ , allora $\lim_{n \to +\infty}a_n/b_n = a/b$ .
Dato il caso in cui $a≠0$ e $b=0$, possiamo dire che, in analisi, $a/0=±\infty$ ?
Scusate se la risposta fosse banale, ma non mi è chiaro questa conclusione sia o no giusta...?
Infinite (ed è il caso di dirlo) grazie a tutti!
Davide

[mistake89]

Sì, il corpo dei quaternioni lo conosco, però appunto è un corpo. E ci fu detto, proprio in quel contesto, che un ampliamento di campo di $CC$, non è possibile.

Grazie mille per la risposta.

[Luca.Lussardi]

Sì, è un classico: se $x \in \CC$, da $x^2-x^2=x^2-x^2$ si ha $(x+x)(x-x)=x(x-x)$; se la divisione con divisore $0$ fosse possibile in qualche ampliamento di $\CC$ allora sarebbe possibile dire che $x+x=x$, da cui $1=2$. Questo semplice giochino mostra che è impossibile ampliare $\CC$ dando senso alla divisione per $0$, conservando la struttura algebrica di $\CC$. Ed è proprio la struttura algebrica di $\CC$ la parola chiave per rispondere alla tua seconda domanda: infatti da un certo punto di vista $\CC$ è il "massimo" a cui si arriva (ovviamente non letteralmente, ad esempio il corpo dei quaternioni contiene strettamente $\CC$): infatti $\CC$ è un campo algebricamente chiuso, ovvero ogni polinomio non costante a coefficienti in $\CC$ ha almeno una radice in $\CC$. E' facile controllare che né $\QQ$ né $\RR$ sono algebricamente chiusi (il polinomio $x^2+1$ è un esempio per $\RR$, e a maggior ragione per $\QQ$).

[mistake89]

"Luca.Lussardi":Vorrei sottolineare una cosa che mi sembra sia stata trascurata. Uno potrebbe pensare che si potrebbe dare un senso all'operazione $a/0$ uscendo dall'insieme dei numeri complessi; del resto anche i più classici insiemi numerici nascono a causa di esigenze simili: l'insieme $\ZZ$ nasce dall'esigenza di dare senso all'operazione $n-m$ quando $n

Questa cosa la sapevo, ma non so a che contraddizioni porta! Puoi spendere qualche parola in più se non ti dispiace?

Tra l'altro è davvero interessante come il campo $CC$ sia difatti un "campo" massimo, non estendibile... come se (azzardo dato il poco che conosco ancora di matematica) $CC$ fosse la costruzione più completa a cui si potesse aspirare.

[Luca.Lussardi]

Vorrei sottolineare una cosa che mi sembra sia stata trascurata. Uno potrebbe pensare che si potrebbe dare un senso all'operazione $a/0$ uscendo dall'insieme dei numeri complessi; del resto anche i più classici insiemi numerici nascono a causa di esigenze simili: l'insieme $\ZZ$ nasce dall'esigenza di dare senso all'operazione $n-m$ quando $n

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[adaBTTLS1]

prego!

[DavideGenova1]

Grazie di cuore, amici, per le risposte chiare ed esaurienti e per la vostra disponibilità!
Davide

[adaBTTLS1]

il teorema di "algebra dei limiti" sul limite del rapporto di due funzioni vale solo i limiti $a,b$ sono finiti e $b != 0$.
naturalmente parliamo del teorema che ci permette di scrivere brutalmente $a/b$ come limite del rapporto di due funzioni.
la cosa naturalmente vale anche per successioni.
è anche vero che normalmente quel limite è $oo$ (senza segno), ma è anche vero che $oo$ senza segno spesso nemmeno si considera come limite (ad esempio, nel caso di funzioni razionali fratte, come $f(x)=(x+5)/(x-2)$, si sente dire spesso che il limite per x->2 è infinito e questo non è corretto, perché i limiti da destra e da sinistra non coincidono: precisamente il limite sinistro è $-oo$ e il limite destro è $+oo$, e c'è una bella differenza!).
spero di esserti stata utile. se hai dubbi, posta pure. ciao e buono studio.

[blackbishop13]

non è questione di dire "in analisi", il punto è che noi siamo abituati a considerare tutto un numero.
qundi se io scrivo $a/0=c$ mi dirai che non ha senso, non si può dividere per zero (perchè poi? lo sapresti spiegare?)

ma quando tu scrivi $a=lim(nto+infty)a_n$ e $b=0=lim(nto+infty)b_n$
la scrittura $a/b=a/0=infty$ assume un senso diverso, $a$ e $b$ non sono più numeri, sono limiti, e quindi non rispettano le regole a cui siamo abituati.
inoltre anche il ismbolo $infty$ assume un senso, che invece non ha quando si parla dei numeri soliti.

qunidi la risposta alla tua domanda è: sì la conclusione è giusta, ma attenzione a cosa vuol dire.