Dimostrazione dei teoremi
Ma la dimostrazione dei teoremi è un qualcosa di oggettivo o di universale? Cioè,sono corrette perchè lo sono secondo tutti o perchè lo è veramente? 
Risposte
D'accordissimo, la scelta dei fondamenti più idonei è del tutto legittima, a seconda di quello che si vuole ottenere. Io credo che nei fondamenti oggi proposti per la matematica ci sia più o meno tutto quello di cui abbiamo bisogno, senza scomodare questioni troppo speculative di teoria degli insiemi e/o aritmetica del transfinito. Possiamo benissimo anche cambiare la logica, se un'altra dovesse funzionare meglio.
Sono d'accordo, Luca. Però, potrei costruire matematiche diverse su fondamenta diverse.
Penso che non si debba giudicare i fondamenti (gli assiomi e le regole logiche). Li si accetta o no. Però se ne possono scegliere altri sulla base di considerazioni di qualsiasi tipo.
Io, per esempio, penso che una "migliore" matematica, che si adatti meglio alla natura, debba essere basata sulla discontinuità dei numeri (io credo alla quantizzazione dello spazio).
Per me la matematica è una scienza sperimentale ! (scusa se sono un po' eretico
)
Penso che non si debba giudicare i fondamenti (gli assiomi e le regole logiche). Li si accetta o no. Però se ne possono scegliere altri sulla base di considerazioni di qualsiasi tipo.
Io, per esempio, penso che una "migliore" matematica, che si adatti meglio alla natura, debba essere basata sulla discontinuità dei numeri (io credo alla quantizzazione dello spazio).
Per me la matematica è una scienza sperimentale ! (scusa se sono un po' eretico
)
Tutte obiezioni valide, ma la fisica è una cosa diversa: se una teoria viene confutata dall'esperimento, essa è da buttare per quanto sensata possa sembrare. Per la logica e la matematica le cose non stanno così: se uno accetta i fondamenti della logica e della matematica, necessariamente deve accettare tutto ciò che se ne deduce. I fondamenti sono sbagliati? Non ha senso dirlo, dal momento che non esiste qualcosa di più profondo. I fondamenti sono sensati? Per il nostro modo di ragionare sì.
Ps. è altrettanto buffo (stupefacente, direi) che il dualismo della MQ lo si risolve con l'analisi funzionale che è basata su tutta quanta la logica aristotelica !
In meccanica quantistica, il principio del "tertium non datur", che per il senso comune sembra così ovvio, non vale.
Per esempio, una particella è anche onda e viceversa (l'una cosa, per il buon senso, contraddirrebbe l'altra ...). Oppure, una particella può trovarsi contemporaneamente in stati diversi (il gatto vivo e morto di Schrödinger).
E' buffo che le particelle, ovvero la base di tutto, non seguano completamente la logica aristotelica !
Per esempio, una particella è anche onda e viceversa (l'una cosa, per il buon senso, contraddirrebbe l'altra ...). Oppure, una particella può trovarsi contemporaneamente in stati diversi (il gatto vivo e morto di Schrödinger).
E' buffo che le particelle, ovvero la base di tutto, non seguano completamente la logica aristotelica !
Credo che il sistema tolemaico sia durato più di 2000 anni!
Non hai torto Luca! Però non significa che finora ci è sembrato tutto corretto,allora sicuramente lo è!
Sono d'accordo invece sul buon senso,purtroppo è l'unico appiglio a cui aggrapparsi!
Sono d'accordo invece sul buon senso,purtroppo è l'unico appiglio a cui aggrapparsi!
Non si tratta di sostenere qualcosa di sbagliato, la verità assoluta non esiste, la verità è solo relativa alle premesse iniziali che uno deve accettare, questo è vero sia in matematica sia in logica sia in ogni altro sapere. Le regole della logica sono dettate dal buon senso, e riflettono e formalizzano le regole del ragionamento comune. Non ha quindi senso chiedersi se esse possono essere sbagliate, visto che sono basate sul puro buon senso. Diverso sarebbe chiedersi se il buon senso ci inganna, ma un inganno non può durare più di 2000 anni.
Interessante,davvero!
Però delle volte mi assalgono dei dubbi,e se tutti noi sosteniamo qualcosa di sbagliato?
Ovviamente non metto in discussione niente,perchè ahimè di matematica ne so ancora poca,e penso che per quanto la potrò conoscere sarà pur sempre poca,però penso che il dubbio sia lecito!
Però delle volte mi assalgono dei dubbi,e se tutti noi sosteniamo qualcosa di sbagliato?
Ovviamente non metto in discussione niente,perchè ahimè di matematica ne so ancora poca,e penso che per quanto la potrò conoscere sarà pur sempre poca,però penso che il dubbio sia lecito!
"menale":
Qualcuno saprebbe consigliarmi un buon libro di logica , adatto per un laureante ( mi sia concesso questo " spiacevole " termine ) in Matematica ?
Io ho Logica del Varzi,Nolt,Rohatyn, McGraw-Hill editore e l'ho trovato piuttosto semplice, con molti esempi ed esercizi. La nuova edizione tra l'altro ha anche tutti gli esercizi risolti, mentre la mia solo una parte (nella nuova edizione però immagino ci siano anche altre modifiche
)In rete poi trovi diverse dispense di vari corsi (matematica e soprattutto informatica) che puoi liberamente scaricare
Qualcuno saprebbe consigliarmi un buon libro di logica , adatto per un laureante ( mi sia concesso questo " spiacevole " termine ) in Matematica ?
Ci sono anche persone che rifiutano la logica aristotelica... Per esempio senza il principio del terzo escluso la dimostrazione per assurdo non esisterebbe.
Ma personalmente di logica so poco niente.
Ma personalmente di logica so poco niente.
Senza troppi dilungamenti: prendile come universali. O comunque, finchè stai su questo mondo sono valide..
"Mrhaha":
Ma la dimostrazione dei teoremi è un qualcosa di oggettivo o di universale? Cioè,sono corrette perchè lo sono secondo tutti o perchè lo è veramente?
Beh è una domanda originale e interessante. Per rispondere adeguatamente ci vorrebbe probabilmente un libro intero (che io non sarei capace di scrivere).
Tentiamo un risposta...
Secondo me il valore dei teoremi di matematica è universale, nel senso più astratto che si può avere.
I concetti di numero, operazione, linea, piano, funzione, non sono ricavati dal mondo reale, ma sono appunto idee astratte.
Potrebbero cambiare anche le leggi della fisica, ma le leggi della matematica sono immutabili e universali. Intendo dire che ad esempio il teorema di Pitagora non è confutabile, perchè esprime una semplice verità al di fuori di ogni tempo e luogo. Allo stesso modo è immutabile, perchè non risente di nessuna altra condizione esterna.
Per fare un paragone fantasioso, un civiltà aliena completamente diversa dalla nostra, con conoscenze scientifiche, deve essere arrivata alle stesse conclusioni e agli stessi teoremi della nostra matematica. Certamente userebbero altri simboli, altri linguaggi, altre regole, però per forza devono aver scoperto gli stessi concetti con i quali lavoriamo noi.
Anzi, a me piace proprio pensare che su qualche pianeta lontano, qualcuno sta facendo più o meno gli stessi calcoli che facciamo noi qui.
Escluderei completamente che la matematica sia qualcosa di soggettivo (forse volevi dire soggettivo, non oggettivo), anche se un rischio lontano che la mente umana non sia capace di essere perfettamente astratta e imparziale c'è sempre. Però qui ci stiamo spingendo un po' troppo in là.
Di sicuro il teorema di Pitagora non è tale perchè lo ha detto PItagora, nè perchè i professori lo insegnano a scuola, o perchè lo dice il libro.
Come ci insegna Godel "...bisogna pur partire da una fede , un dogma insomma...."
La Verità non esisite; esistono le verità. La verità matematica, come ogni verità, è relativa alle premesse iniziali. Se uno accetta le basi della matematica allora necessariamente i teoremi dimostrati risultano veri e inopinabili.
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