Determinare i punti di discontinuità e la loro specie

[firimbindr]

devo determinare i punti di discontinuità di questa funzione:

$y=(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)$

Dominio della funzione $x^2-3x+2$ diverso da zero

cioè x diverso da 1 e da 2

Poi devo fare il limite per $lim_(x->1^+)f(x)$ e $lim_(x->1^-)f(x)$ e il limite $lim_(x->2^+)f(x)$ e $lim_(x->2^-)f(x)$

$lim_(x->1^+)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(1-1-2)/(1-3+2)=-2/0=-oo$

$lim_(x->1^-)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(1-1-2)/(1-3+2)=-2/0=-oo$

$x=1$ è punto di discontinuità di seconda specie


$lim_(x->2^-)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(4-2-2)/(4-6+2)=0/0$

$lim_(x->2^-)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(4-2-2)/(4-6+2)=0/0$


Come dimostro che $x=2$ è un punto di discontinuità di terza specie?
(Non riesco ad applicare la definizione di discontinuità di terza specie)

grazie

[Luca.Lussardi]

In realta' se uno adotta la definizione di limite che io ritengo piu' sensata di quella classica la condizione 3 di Fioravante e' automaticamente soddisfatta e non serve partire da punti di accumulazione. Se esiste il limite per $x$ che tende a $c$ dove $c$ sta nel dominio di $f$ allora necessariamente tale limite vale $f(c)$. $c$ potrebbe anche essere isolato per il dominio, la definizione di limite non si preoccupa di questo: infatti nella definizione basta considerare anche il punto $x=c$, non eliminarlo come la maggior parte dei testi fanno.

Non ho intenzione di rivoluzionare nulla si intende, ma sono "cresciuto" con questa scuola di pensiero sulla definizione di limite ed ho imparato ad apprezzarla piu' della definizione usuale.

[_nicola de rosa]

"firimbindr":Alla luce delle nuove delucidazioni come procedo per determinare tutti i punti di discontinuità e la loro natura?

in generale o per esempio con la funzione $f(x)=e^(|-tanx|)$ ?

grazie

in tal caso bisogna vedere nei punti $x=pi/2+kpi, k in ZZ$ cosa succede.

Ma è semplice visto che $|-tanx|_(x=pi/2+kpi)=+infty$ (per la presenza del valore assoluto) per cui $f(x)$ diverge a $+infty$ in tali punti

[Chevtchenko]

Certo la funzione indicata da firebird e' continua, ma questo non impedisce di parlare di punti di discontinuita' ne' di studiare il comportamento della funzione in prossimita' di questi punti.

Faccio peraltro notare che lo stesso Rudin (Principles of Mathematical Analysis) distingue tra discontinuita' del I e del II tipo.

[firimbindr]

Alla luce delle nuove delucidazioni come procedo per determinare tutti i punti di discontinuità e la loro natura?

in generale o per esempio con la funzione $f(x)=e^(|-tanx|)$ ?

grazie

[Fioravante Patrone1]

essenzialmente giusto, alcuni commenti (preliminare: stiamo palando di continuità in $c$, non in $x$, ma penso fosse solo una sorta di lapsus):

- preciserei che $i \in RR$
- non c'è bisogno di tirare in ballo limiti dx e sx,
per cui sostituirei 1) con questa:

1) $lim_(x->c)f(x)=l$, con $l \in RR$

- la 2) può anche essere detta così:

2) la funzione è definita in $c$

- visto che nella 1) dici già che il limite è $l$, tanto vale dire:

3) $l = f(c)$


Ultimo commento. A voler essere precisi, questa è la definizione di continuità qualora $c$ sia un punto di accumulazione pe il dominio di $f$.
Se non si vuol parlare di punti di accumulazione, si può precisare, ad esempio, la condizione che $f$ sia definita almeno in un intorno di $c$ (basterebbe anche un intorno destro o sinistro)

ciao

[firimbindr]

Visto che la mia definizione di discontinuità non è "buona" non mi accontento di sapere che una funzione è discontinua in un punto $x$ del suo dominio se non e' continua in quel punto.

Mi viene un altro dubbio...sarà corretta la definizione di funzione continua?

Una funzione è continua quando

1) $lim_(x->c^-)f(x)=lim_(x->c^+)f(x)=l$

2) esiste il valore della funzione per x=c

3) il limite deve essere uguale a f(c)


?!?!?!?

[Fioravante Patrone1]

"Cozza Taddeo":
Che ne dite?

Io il mio punto di vista l'ho già espresso.
Vedi:
https://www.matematicamente.it/f/viewtop ... 618#107618
e segg.

ciao

[Luca.Lussardi]

Infatti sarebbe buona cosa che i testi della scuola superiore, ed anche i professori, si attenessero alla decisamente piu' sensata definizione di discontinuita': una funzione e' discontinua in un punto $x$ del suo dominio se non e' continua in quel punto. La funzione data quindi e' continua dappertutto, ovunque essa risulti definita.

[firimbindr]

$lim_(x->2^+)((x-2)(x+1))/((x-1)(x-2))=lim_(x->2^+)(x+1)/(x-1)=3$
$lim_(x->2^-)((x-2)(x+1))/((x-1)(x-2))=lim_(x->2^-)(x+1)/(x-1)=3$

quindi $x=2$ è di discontinuità eliminabile[/quote]

Dal punto di vista teorico quindi un punto $x=c$ di una funzione y=f(x) è di discontinuità di 3°specie (o eliminabile) poichè esiste finito il $lim_(x->c)f(x)$, ma f(c) o non esiste o è diversa dal valore del limite

Nel nostro caso $c=2$

e $f(c)=f(2)= (4-2-2)/(4-6+2)=0/0=$ forma indeterminata

f(c) non esiste o è diversa dal valore del limite?

grazie

[cozzataddeo]

"Luca.Lussardi":Sara' pure quello che un professore di liceo vorra' sentirsi dire, ma sta di fatto che la funzione scritta non presenta punti di discontinuita', e' continua ovunque nel suo dominio.

Spero di non andare off topic ma colgo l'occasione per esprimere una perplessità che mi porto dietro dai tempi del primo anno di Università: perché alle superiori si insegna a classificare in un modo le discontinuità e poi all'università si riclassificano da capo? Visto che non costa niente scegliere l'una o l'altra classificazione (non ci sono difficoltà di carattere teorico) perché non si mantiene fin dall'inizio quella che viene poi esposta all'Università e che mi sembra anche piú coerente (se una funzione non esiste in un punto, che senso ha andare a chiedersi se lí è continua? Se non esiste in un punto, lí non ha nessuna proprietà...)?

Che ne dite?

[Luca.Lussardi]

Sara' pure quello che un professore di liceo vorra' sentirsi dire, ma sta di fatto che la funzione scritta non presenta punti di discontinuita', e' continua ovunque nel suo dominio.

[_nicola de rosa]

"firimbindr":devo determinare i punti di discontinuità di questa funzione:

$y=(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)$

Dominio della funzione $x^2-3x+2$ diverso da zero

cioè x diverso da 1 e da 2

Poi devo fare il limite per $lim_(x->1^+)f(x)$ e $lim_(x->1^-)f(x)$ e il limite $lim_(x->2^+)f(x)$ e $lim_(x->2^-)f(x)$

$lim_(x->1^+)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(1-1-2)/(1-3+2)=-2/0=-oo$

$lim_(x->1^-)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(1-1-2)/(1-3+2)=-2/0=-oo$

$x=1$ è punto di discontinuità di seconda specie


$lim_(x->2^-)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(4-2-2)/(4-6+2)=0/0$

$lim_(x->2^-)(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=(4-2-2)/(4-6+2)=0/0$


Come dimostro che $x=2$ è un punto di discontinuità di terza specie?
(Non riesco ad applicare la definizione di discontinuità di terza specie)

grazie

scirvitela così la funzione:
$(x^2-x-2)/(x^2-3x+2)=((x-2)(x+1))/((x-1)(x-2))$
quindi:
$lim_(x->1^+)((x-2)(x+1))/((x-1)(x-2))=lim_(x->1^+)(x+1)/(x-1)=(2)/(0^+)=+oo$
$lim_(x->1^-)((x-2)(x+1))/((x-1)(x-2))=lim_(x->1^-)(x+1)/(x-1)=(2)/(0^-)=-oo$

quindi $x=1$ è discontinuità di seconda specie


$lim_(x->2^+)((x-2)(x+1))/((x-1)(x-2))=lim_(x->2^+)(x+1)/(x-1)=3$
$lim_(x->2^-)((x-2)(x+1))/((x-1)(x-2))=lim_(x->2^-)(x+1)/(x-1)=3$

quindi $x=2$ è di discontinuità eliminabile