Derivate di funzioni a simmetria assiale e centrale

[zorn1]

Salve amici del forum, ho deciso di condividere con voi un mio risultato di 2 anni fa. Risolsi positivamente una congettura propostami. Magari ora pongo solo il problema, se qualcuno prima volesse cimentarsi, poi posterò la soluzione.

Si tratta di un'esposizione, quindi la posterò in questa forma (l'ho fatta a mano sui lucidi e mi stufo sempre di metterla in power point )!
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Considerazioni empiriche.

$Dx^2=2x$
Il grafico di $y=x^2$ ha simmetria assiale rispetto all’asse y.
Il grafico di $y=2x$ ha simmetria centrale rispetto all’origine.

(N.B. nei lucidi avevo anche fatto i grafici, ma penso nessuno qui abbia alcuna difficoltà a pensarli... quindi li ometto... scusate la pigrizia)

$Dx^3=3x^2$
Il grafico di $y=x^3$ ha simmetria centrale rispetto all'origine.
Il grafico di $y=3x^2$ ha simmetria assiale rispetto all’asse y.

E così per funzioni monomiali di grado più elevato.

Ancora per goniometriche:
$D sin x = cos x$
(da simmetria centrale a simmetria assiale)
$D cos x = -sin x$
(da simmetria assiale a simmetria centrale)

Altro esempio: $D cosh x = -sinh x$
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Formulazione ingenua verbale della congettura

Ma se derivo una funzione con una simmetria assiale ottengo una funzione con una simmetria centrale?

E, reciprocamente, se derivo una funzione con una simmetria centrale ottengo una funzione con una simmetria assiale?

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Come rispondere?

1) Definire esattamente (formalmente) ipotesi e tesi
2) Tentare, con l’esperienza matematica acquisita, di creare una dimostrazione o una confutazione
3) Ricercare eventuali generalizzazioni, in differenti direzioni, volte a più problematiche.

(Lo so, belle parole ma sapete com'è una presentazione ...)
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1) Formalizzazione della congettura

Ipotesi

a) definizione spazio ambiente

- $x_0 in RR$
- $I=$intorno simmetrico di $x_0$, cioè $I=(x_0-epsilon;x_0+epsilon), epsilon in (0;+oo]$ (se $epsilon=+oo$ si pone $I=RR$)

b) simmetria della funzione in I e derivabilità

- $f: x in I sube RR -> f(x) in RR$
- f DERIVABILE in I
- f ha SIMMETRIA ASSIALE (*) in I, ossia:
$AA h in (-epsilon;epsilon), f(x_0-h)=f(x_0+h)$

Tesi

c) La derivata ha SIMMETRIA CENTRALE (*) in I, ossia:
$AA h in (-epsilon;epsilon), f'(x_0-h)=-f'(x_0+h)$


(*) Asse di simmetria: ${(x,y) in RR^2: x=x_0}$
Centro di simmetria: $(x_0,0) in RR^2$
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Ok, amici, ora mi fermo per chi vuole cimentarsi, poi posterò la mia soluzione... Saluti!

[Mega-X]

metto la soluzione in uno spoiler..

abbiamo 2 strade:

1. il problema è riconducibile ad un problema inverso di Rolle

infatti se abbiamo 2 valori tali che $f(x_0 + h) = f(x_0 -h)$ allora abbiamo un punto stazionario $(x_0, f(x_0))$, e se a sinistra di questo punto la funzione è decrescente, a sinistra sarà crescente, oppure il contrario, e siccome la $f(x)$ è derivabile in tutto $I$ non ci saranno ne punti angolosi, cuspidi, e cose varie

diciamo che a destra la $f(x)$ è decrescente e a sinistra è crescente dobbiamo avere per forza $f'(x_0 - h) = -f'(x_0 + h)$
se è il contrario abbiamo $-f'(x_0 - h) = f'(x_0 + h)$

2. senza Teorema di Rolle.. (che è quasi lo stesso del ragionamento di prima.. )

diciamo che a destra dell'asse $x = x_0$ la funzione cresce dovra essere che a sinistra di $x_0$ la funzione deve decrescere perché altrimenti non sarebbe $f(x_0 - h) = f(x_0 + h)$ ma sarebbe anzi $f(x_0 - h) > f(x_0 + h)$ (la funzione è derivabile in tutto $I$ cosa che implica la continuità.. ), e la stessa cosa al contrario, ma se da un lato la funzione cresce e dall'altro decresce abbiamo per forza che $f'(x_0 + h) = -f'(x_0 - h)$ e se al contrario $-f'(x_0 - h) = f'(x_0 + h)$

Spero di essere stato abbastanza chiaro..

[zorn1]

Allora nessuna idea? Basta armeggiare con la definizione di limite di rapporto incrementale... aspetto un altro po' poi posto la sol...

[zorn1]

Oh sì grazie x la correzione dannati copia e incolla...

[_luca.barletta]

"zorn":

Altro esempio: $D cosh x = -sinh x$

$Dcoshx=sinhx$

[zorn1]

Premetto che non è difficile (è rivolta a studenti del V scientifico e/o Analisi I)... l'ho messa in questo topic perché derivava da una congettura che mi posero

Per pari e dispari penso si intenda che la simmetria assiale o centrale valga in tutto $RR$ non localmente... invece, dato che il discorso è di derivare in un punto è meglio agire localmente, e in quel caso c'è bisogno di qualche piccola considerazione aggiuntiva...

in ogni caso posta pure la soluzione nel caso pari e dispari se vuoi...

[Gaal Dornick]

Mi sbaglio se le funzioni le dico "pari" e "dispari" al posto di parlare di simmetria?
Se così è allora ricordo che la dimostrazione era un banale esercizio.. c'è qualcosa che non ho colto? non ho letto attentamente..