Curiosità sull'arte di "dimostrare teoremi".
C'è un modo per imparare a dimostrare teoremi?
Cioè, mi rendo conto che la domanda è stupida, e che non dovrebbero esserci dubbi sul fatto che l'unico modo è studiare, conoscere profondamente quello che si studia ed avere quella che chiamano una certa predisposizione, però mi chiedo se, magari a matematica, insegnino realmente a "dimostrare" teoremi, cioè diano alcuni schemi di fondo cui potersi ispirare (in modo non categorico, però), certi orientamenti, certe "vie".
Cioè, mi rendo conto che la domanda è stupida, e che non dovrebbero esserci dubbi sul fatto che l'unico modo è studiare, conoscere profondamente quello che si studia ed avere quella che chiamano una certa predisposizione, però mi chiedo se, magari a matematica, insegnino realmente a "dimostrare" teoremi, cioè diano alcuni schemi di fondo cui potersi ispirare (in modo non categorico, però), certi orientamenti, certe "vie".
Risposte
"turtle87":
beh, se ti va puoi proseguire il discorso, nel senso che comunque sarebbe bello sapere come si organizza tale insegnamento.
Sono nuovo allo studio della vera matematica. E più vado avanti, più mi rendo conto che spesso segue, nelle dimostrazioni, nelle correlazioni tra teoremi, vie sempre meno antiintuitive.
Ci sono degli insegnamenti veri e propri (spesso inglobati nei corsi di logica) e ci sono cose che non possono essere insegnate. Nei corsi di logica viene spiegato cosa rende una dimostrazione corretta e i vari errori che si possono fare, oltre che la dimostrazione della correttezza di alcuni metodi di dimostrazione come la dimostrazione per assurdo e la dimostrazione per induzione. Inoltre ti vengono posti delle problematiche sulla ammissibilità o meno di alcune pratiche che spesso si danno per scontate ma sulle quali si dovrebbe fare molta attenzione.
Ogni settore della matematica ha poi le sue particolarità, i suoi trucchi e questi si imparano solamente facendo esercizi (specialmente quelli che ti chiedono di dimostrare delle cose o che servono a comprendere a fondo dei teoremi) e leggendo dimostrazioni di persone più esperte di te. Non è detto che una persona che sia brava a dimostrare cose di geometria elementare o teoria classica dei numeri sia altrettanto brava a maneggiare concetti di teoria dei gruppi o di analisi funzionale, nello stesso modo ci possono essere persone brave in teoria dei gruppi o analisi funzionale che quando si trovano davanti dei problemi da olimpiade di matematica (non connessi ad analoghi problemi nel loro settore) non sanno dove mettere le mani.
P.S: "meno antiintuitive"!? una doppia negazione è una affermazione e quindi "meno antiintuitive"="più intuitive"... Quindi se è questo che intendevi ok, ma dato che presumo tu intendessi il contrario ti suggerisco di fare più attenzione.
sono principalmente per l'algebra a livello di preparazione per la dimostrazione di teoremi
Ovviamente roxy hai ragione, ma proprio per come è fatta l'algebra è un buon inizio... ovviamente non sufficiente senza logica, per quanto riguarda la geometria ci vuole molta intuizione che non tutti possono coltivare.
ogni ramo della matematica insegna qualcosa ma alla base di tutto c'è la logica... quindi studiare bene nel senso di interpretare bene quello che si fa porta a saper dimostrare... purtroppo nel biennio della scuola secondaria molti tendono a non affrontare logica e geometria... ma molto spesso la colpa non è degli insegnanti ma degli studenti che si trovano ad esempio in un liceo scientifico senza averne le competenze di base... e....
Algebra RULEZ!!!! 
O meglio, i suoi metodi ci costruzione (di strutture) e di osservazione sono molto utili per imparare i metodi costruttivi di dimostrazione al posto di quelli per assurdo! Sia chiaro non è che siano meglio o peggio è solo che fanno vedere il problema da punti di vista differenti.
O meglio, i suoi metodi ci costruzione (di strutture) e di osservazione sono molto utili per imparare i metodi costruttivi di dimostrazione al posto di quelli per assurdo! Sia chiaro non è che siano meglio o peggio è solo che fanno vedere il problema da punti di vista differenti.
concordo con quanto detto fino ad ora....
dopo che ho studiato l'algebra astratta (ramo che mi affascinava molto) ero in grado di dimostrare diversi teoremi....
dopo che ho studiato l'algebra astratta (ramo che mi affascinava molto) ero in grado di dimostrare diversi teoremi....
A proposito del ruolo della dimostrazione in Matematica, dei vari tipi di dimostrazioni esistenti e sul loro diverso impiego, mi sento di consigliare (ai matematici ed agli appassionati) il seguente libricino:
Lolli, QED - Fenomenologia della dimostrazione, Boringhieri.
Per i matematici sono senza dubbio 20 euro spesi bene!
Lolli, QED - Fenomenologia della dimostrazione, Boringhieri.
Per i matematici sono senza dubbio 20 euro spesi bene!
Io credo che la matematica segua un bel filo logico anche se spesso apparentemente non lo si vede subito. Tutto ciò che io credo ti serva per poter imparare a dimostrare è pazienza, molta fantasia e davvero parecchia esperienza.
Lo studio di ciò che è stato fatto precedentemente è importantissimo per capire come sono state fatte le dimostrazioni, la creatività ti dice come da un problema passare ad uno equivalente ed in più ti permette di creare nuove idee ed infine la pazienza che necessariamente va a braccetto con le precedenti due, perchè nulla di davvero importante si riesce ad ottenere in breve tempo.
Lo studio di ciò che è stato fatto precedentemente è importantissimo per capire come sono state fatte le dimostrazioni, la creatività ti dice come da un problema passare ad uno equivalente ed in più ti permette di creare nuove idee ed infine la pazienza che necessariamente va a braccetto con le precedenti due, perchè nulla di davvero importante si riesce ad ottenere in breve tempo.
Io aiutando ragazzi alle medie e superiori con gli esercizi, quando il percorso non è chiaro, faccio costruire un grafo:
foglio A4 in orizzontale, sul lato sinistro metto in colonna tutte le ipotesi, su quello destro tutte le tesi, poi si inizia a lavorare da entrambe le parti: con queste ipotesi cosa possiamo dedurre? e segno il passaggio dimostrato, unito con freccioline alle ipotesi utilizzate, oppure parto dalle tesi chiedendomi cosa potrebbe servirmi per dimostrarla; procedo così finché non si chiude un percorso completo dalle ipotesi alle tesi.
foglio A4 in orizzontale, sul lato sinistro metto in colonna tutte le ipotesi, su quello destro tutte le tesi, poi si inizia a lavorare da entrambe le parti: con queste ipotesi cosa possiamo dedurre? e segno il passaggio dimostrato, unito con freccioline alle ipotesi utilizzate, oppure parto dalle tesi chiedendomi cosa potrebbe servirmi per dimostrarla; procedo così finché non si chiude un percorso completo dalle ipotesi alle tesi.
Premetto che secondo me non è assolutamente una domanda stupida.
Per dimostrare teoremi (ad eccezione di quelli banali o puramente mnemonici) devi innanzitutto avere molto chiaro l'argomento di cui parlano, e poi aver fatto esercizio su problemi simili, in quanto alcune tecniche di risoluzione sono spesso usate più volte per problemi analoghi.
Un capitolo a parte meriterebbe la chiarezza e la formalità della dimostrazione, quella si impara molto con l'esperienza e "vedendo" dimostrazioni famose o di colleghi più bravi.
Per dimostrare teoremi (ad eccezione di quelli banali o puramente mnemonici) devi innanzitutto avere molto chiaro l'argomento di cui parlano, e poi aver fatto esercizio su problemi simili, in quanto alcune tecniche di risoluzione sono spesso usate più volte per problemi analoghi.
Un capitolo a parte meriterebbe la chiarezza e la formalità della dimostrazione, quella si impara molto con l'esperienza e "vedendo" dimostrazioni famose o di colleghi più bravi.
beh, se ti va puoi proseguire il discorso, nel senso che comunque sarebbe bello sapere come si organizza tale insegnamento.
Sono nuovo allo studio della vera matematica. E più vado avanti, più mi rendo conto che spesso segue, nelle dimostrazioni, nelle correlazioni tra teoremi, vie sempre meno antiintuitive.
Sono nuovo allo studio della vera matematica. E più vado avanti, più mi rendo conto che spesso segue, nelle dimostrazioni, nelle correlazioni tra teoremi, vie sempre meno antiintuitive.
La risposta è sì, questi metodi in parte te li insegnano e in parte le impari con l'esperienza, leggendo e facendo dimostrazioni. Non esiste comunque un modo sicuro che ti permette di dimostrare qualcosa, in ogni caso ogni nuova dimostrazione ti rende un po' più bravo.
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