Curiosità sugli integrali
[Forse se ne sarà già parlato a lungo in altre sezioni, ma spero di non aver aperto un altro topic inutilmente]
Sto cercando di studiare più a fondo il calcolo integrale e ho notato alcune curiosità:
1) Spesso, in molti testi e in tantissimi siti internet, il concetto di integrale viene presentato quasi esclusivamente nel contesto del calcolo integrale definito e con particolare riferimento al "calcolo dell'area della regione piana compresa ecc. ecc...". Però a rigore, per come è organizzata la didattica dei corsi di analisi matematica è un pò un controsenso visto che praticamente ovunque nel mondo, si parla prima del calcolo indefinito e poi di quello definito. Magari questa è solo una questione di gusti.
2) Quasi sempre i corsi di fisica anticipano quelli di analisi e stravolgono le notazioni con relativi abusi [tanto per fare un esempio spesso e volentieri quando saltano fuori funzioni integrali capita spesso di usare negli estremi di integrazione lo stesso nome della variabile integrazione come ad esempio $int_(t0)^tf(t)dt$ e si dice che tale abuso è comunemente accettato. Sempre nei corsi di fisica si presentano "integrali avanzati" non ancora visti nel corso di analisi quali integrali di circuitazione, di volume, di superficie, di linea ecc sempre cambiando le notazioni [e qualcuno non preparatissimo come il sottoscritto può arrivare a confondere gli integrali di linea con quelli si superficie o di volume]
3) La cosa strana è che questi "integrali avanzati" vengono poi presentati in molti testi quasi direttamente con le applicazioni fisiche senza disquisire a fondo la teoria che sta alla base. Ad esempio si parla dell'integrale curvilineo con l'applicazione per il calcolo del lavoro compiuto da una forza senza prima aver presentato a fondo la trattazione teorica necessaria per comprendere appieno la successiva applicazione fisica [a rigore potrebbe non essere formalmente corretto: il lettore potrebbe anche ignorare il concetto di lavoro compiuto da una forza]
Certamente va di moda l'interdisciplinarietà però a volte si omette di presentare a fondo l'impianto teorico su cui si fondano le applicazioni pratiche. E' solo una mia impressione?
Sto cercando di studiare più a fondo il calcolo integrale e ho notato alcune curiosità:
1) Spesso, in molti testi e in tantissimi siti internet, il concetto di integrale viene presentato quasi esclusivamente nel contesto del calcolo integrale definito e con particolare riferimento al "calcolo dell'area della regione piana compresa ecc. ecc...". Però a rigore, per come è organizzata la didattica dei corsi di analisi matematica è un pò un controsenso visto che praticamente ovunque nel mondo, si parla prima del calcolo indefinito e poi di quello definito. Magari questa è solo una questione di gusti.
2) Quasi sempre i corsi di fisica anticipano quelli di analisi e stravolgono le notazioni con relativi abusi [tanto per fare un esempio spesso e volentieri quando saltano fuori funzioni integrali capita spesso di usare negli estremi di integrazione lo stesso nome della variabile integrazione come ad esempio $int_(t0)^tf(t)dt$ e si dice che tale abuso è comunemente accettato. Sempre nei corsi di fisica si presentano "integrali avanzati" non ancora visti nel corso di analisi quali integrali di circuitazione, di volume, di superficie, di linea ecc sempre cambiando le notazioni [e qualcuno non preparatissimo come il sottoscritto può arrivare a confondere gli integrali di linea con quelli si superficie o di volume]
3) La cosa strana è che questi "integrali avanzati" vengono poi presentati in molti testi quasi direttamente con le applicazioni fisiche senza disquisire a fondo la teoria che sta alla base. Ad esempio si parla dell'integrale curvilineo con l'applicazione per il calcolo del lavoro compiuto da una forza senza prima aver presentato a fondo la trattazione teorica necessaria per comprendere appieno la successiva applicazione fisica [a rigore potrebbe non essere formalmente corretto: il lettore potrebbe anche ignorare il concetto di lavoro compiuto da una forza]
Certamente va di moda l'interdisciplinarietà però a volte si omette di presentare a fondo l'impianto teorico su cui si fondano le applicazioni pratiche. E' solo una mia impressione?
Risposte
"magliocurioso":
[Forse se ne sarà già parlato a lungo in altre sezioni, ma spero di non aver aperto un altro topic inutilmente]
Sto cercando di studiare più a fondo il calcolo integrale e ho notato alcune curiosità:
1) Spesso, in molti testi e in tantissimi siti internet, il concetto di integrale viene presentato quasi esclusivamente nel contesto del calcolo integrale definito e con particolare riferimento al "calcolo dell'area della regione piana compresa ecc. ecc...". Però a rigore, per come è organizzata la didattica dei corsi di analisi matematica è un pò un controsenso visto che praticamente ovunque nel mondo, si parla prima del calcolo indefinito e poi di quello definito. Magari questa è solo una questione di gusti.
Non è affatto vero.
In un qualsiasi corso universitario "serio" di Analisi Matematica il problema dell'integrazione non è mai presentato con riferimento al calcolo delle primitive.
Si comincia sempre con qualcosa di teoria della misura di Jordan e con la nozione di integrale definito di Riemann; la connessione tra il calcolo degli integrali definiti ed il problema della determinazione delle primitive viene stabilita solo col Teorema Fondamentale del Calcolo Integrale, che viene affrontato quasi come ultimo argomento.
Cominciare con l'integrale indefinito farebbe troppo "scuola secondaria".
"magliocurioso":
2) Quasi sempre i corsi di fisica anticipano quelli di analisi e stravolgono le notazioni con relativi abusi [tanto per fare un esempio spesso e volentieri quando saltano fuori funzioni integrali capita spesso di usare negli estremi di integrazione lo stesso nome della variabile integrazione come ad esempio $int_(t0)^tf(t)dt$ e si dice che tale abuso è comunemente accettato. Sempre nei corsi di fisica si presentano "integrali avanzati" non ancora visti nel corso di analisi quali integrali di circuitazione, di volume, di superficie, di linea ecc sempre cambiando le notazioni [e qualcuno non preparatissimo come il sottoscritto può arrivare a confondere gli integrali di linea con quelli si superficie o di volume]
3) La cosa strana è che questi "integrali avanzati" vengono poi presentati in molti testi quasi direttamente con le applicazioni fisiche senza disquisire a fondo la teoria che sta alla base. Ad esempio si parla dell'integrale curvilineo con l'applicazione per il calcolo del lavoro compiuto da una forza senza prima aver presentato a fondo la trattazione teorica necessaria per comprendere appieno la successiva applicazione fisica [a rigore potrebbe non essere formalmente corretto: il lettore potrebbe anche ignorare il concetto di lavoro compiuto da una forza]
Certamente va di moda l'interdisciplinarietà però a volte si omette di presentare a fondo l'impianto teorico su cui si fondano le applicazioni pratiche. E' solo una mia impressione?
Siete laureandi triennali, che vi aspettavate?
I vostri corsi durano sì e no tre mesi ed i docenti sono costretti a trattare gli argomenti di base delle materie che insegnano, non avendo il tempo per approfondire alcunchè.
Per quanto mi riguarda, preferisco di gran lunga i vecchi ordinamenti: gli esami erano pesanti (anche pesantissimi a volte), ma almeno i docenti spiegavano "quasi tutto".
Beh, se aspettassimo di imparare la matematica grazie ai fisici staremmo rovinati... loro sanno solo "arronzare" e applicare... cercate un buon testo di analisi 2 e vedrete quanto è naturale e matematicamente elegante passare dall'integrale unidimensionale agli integrali di linea e superficiali.
Il problema è che finora non ho visto niente di riconducibile a quello che so già fare. Sto cercando di imparare i concetti per conto mio, ma sembra assurdo il fatto che, se ad esempio cerco su internet qualche riferimento agli integrali di circuitazione trovo esclusivamente riferimenti e applicazioni al teorema di gauss per il campo elettrostatico e o gravitazionale senza trovare nessuna trattazione matematica rigorosa che trascenda le applicazioni fisiche. La cosa mi sembra anche paradossale perchè la fisica ha comunque bisogno di basarsi su strumenti matematici rigorosi
Anch'io ricordo che l'anno scorso rimasi un po' spiazzato quando a fisica 1 introdussero notazioni relative ad integrali che non conoscevo(di linea, di superficie, di volume) ma a grandi linee riuscii a capire il concetto che stava alla base dell'uso di un'operatore, piuttosto che di un altro. Poi, naturalmente, l'aver affrontato nello specifico in Mate C quegli argomenti mi ha fatto capire il tutto molto meglio ma credo che un approccio di questo tipo non sia poi così sbagliato(alla fine in fisica si usavano quelle definizioni generali in partenza che però poi si riducevano a cose che sapevo già fare, come è giusto che fosse. 
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Sono d'accordissimo per quanto riguarda gli ultimi due punti.
Nel corso di fisica sono stati presentati concetti non ancora visti in analisi in modo alquando approssimativo e quel tanto che bastava per poterli usare in determinate applicazioni... Molte cose infatti si capiscono solo dopo...
Però non penso sia una carenza del corso di fisica, in fondo il corso di fisica non deve sostuire quello di analisi. Semplicemente, bisognerebbe prima preparare delle buone basi teoriche, e poi vederne le applicazioni, non il viceversa.
Nel corso di fisica sono stati presentati concetti non ancora visti in analisi in modo alquando approssimativo e quel tanto che bastava per poterli usare in determinate applicazioni... Molte cose infatti si capiscono solo dopo...
Però non penso sia una carenza del corso di fisica, in fondo il corso di fisica non deve sostuire quello di analisi. Semplicemente, bisognerebbe prima preparare delle buone basi teoriche, e poi vederne le applicazioni, non il viceversa.
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