Cosa sono i numeri ed esistono ?
“ Dio ha creato i numeri interi: tutto il resto è opera dell’uomo.” (D. Kronecher)
“tutto è numero” (Pitagora)
Stavo riflettendo su un quadro di R. Magrit
http://keynes.scuole.bo.it/ipertesti/su ... /pipa.html
infatti non è una pipa, è la rappresentazione (o disegno) di una pipa : oggetto e parola non coincidono; sono due cose diverse.
Siamo talmente abituati fin da piccoli ai numeri, soprattutto naturali, che non ci capita mai di chiederci se 0,1,2,3,… esistono davvero. Ci mostrano una caramella e un’altra caramella e li identifichiamo con il numero 2.
Peano scrisse un insieme di assiomi tra cui
- esiste un numero 0
- ogni numero n ha per successore s(n)
1 = s(0)
2=s(s(0))
Già lo zero è una grossa conquista, ma qual è il concetto di “esiste” ?
Mi sembra di ricordare che Frege e Cantor hanno risposto in modo diverso, e alla fine si finisce con Goedel e qualche articolo, letto velocemente, riconduce la questione alla filosofia della matematica che mi ricorda le questioni sull’esistenza di Dio, la teiera di Russel, l’unicorno rosa….
Ma alla domanda “cosa è un numero” e/o “i numeri esistono realmente”, ha ragione Kronecher, Pitagora, nessuno dei due ? L’argomento è già stato discusso ?
p.s. spero di non aver sbagliato sezione.
“tutto è numero” (Pitagora)
Stavo riflettendo su un quadro di R. Magrit
http://keynes.scuole.bo.it/ipertesti/su ... /pipa.html
infatti non è una pipa, è la rappresentazione (o disegno) di una pipa : oggetto e parola non coincidono; sono due cose diverse.
Siamo talmente abituati fin da piccoli ai numeri, soprattutto naturali, che non ci capita mai di chiederci se 0,1,2,3,… esistono davvero. Ci mostrano una caramella e un’altra caramella e li identifichiamo con il numero 2.
Peano scrisse un insieme di assiomi tra cui
- esiste un numero 0
- ogni numero n ha per successore s(n)
1 = s(0)
2=s(s(0))
Già lo zero è una grossa conquista, ma qual è il concetto di “esiste” ?
Mi sembra di ricordare che Frege e Cantor hanno risposto in modo diverso, e alla fine si finisce con Goedel e qualche articolo, letto velocemente, riconduce la questione alla filosofia della matematica che mi ricorda le questioni sull’esistenza di Dio, la teiera di Russel, l’unicorno rosa….
Ma alla domanda “cosa è un numero” e/o “i numeri esistono realmente”, ha ragione Kronecher, Pitagora, nessuno dei due ? L’argomento è già stato discusso ?
p.s. spero di non aver sbagliato sezione.
Risposte
Ciao a tutti,
caspita siete coltissimi e preparatissimi!
@Erwin, tu fai troppe domande!
(Vai troppo spesso a Heidelberg), ti piace Boll? (non so mettere i puntini, se aggiungessi la e andrebbe bene?)
Sei un uomo molto intelligente, col quale mi piacerebbe parlare di tutto fuorchè di matematica!
A parte gli scherzi, non penso che la matematica sia "inattaccabile".
caspita siete coltissimi e preparatissimi!
@Erwin, tu fai troppe domande!
(Vai troppo spesso a Heidelberg), ti piace Boll? (non so mettere i puntini, se aggiungessi la e andrebbe bene?)
Sei un uomo molto intelligente, col quale mi piacerebbe parlare di tutto fuorchè di matematica!
A parte gli scherzi, non penso che la matematica sia "inattaccabile".
Per potersi muovere nel mondo, l'uomo deve costruirne dei modelli mentali. I numeri sono degli elementi di questi modelli mentali.
"lucadileta":
[quote="Lemniscata"] Pensare ad esempio che gli enti matematici che definiamo debbano avere un'esistenza metafisica in qualche iperuranio poteva andar bene all'epoca di Platone
io non ho detto questo, ho detto solo che i numeri sono il proseguo naturale della natura e che per questo sono nella natura stessa delle cose,non è che il nautilo quando si sviluppa conosca la spirale logaritmica oppure che prima che l'uomo inventasse i logaritmi tutto questo non avvenisse... che poi l'uomo li ha chiamati numeri è tutto un altro paio di maniche e tutto quello che ne è seguito è artificio umano che si fonda su un qualcosa di naturale e di conseguenza per come la vedo io perfetta, tra l'altro non sono per nulla antropocentrico
[/quote]
Non ho detto che l'hai detto tu infatti, il mio era per l'appunto un esempio di esaltazione metafisica, ma non era riferito a te.
Detto questo, che la Natura abbia una struttura matematica è quello che pare a noi perché noi vediamo le cose così, ed è forse l'unico modo che abbiamo per indagare in maniera scientifica e oggettiva. Ma da qui a dire che i numeri sono il proseguo naturale della Natura il passo a mio avviso è molto lungo, almeno in linea di principio. Che poi nella pratica postulare una matematicità insita nella Natura ci abbia portato risultati scientifici enormi, questo è un altro discorso, ma quello che voglio dire è che questo non può essere scisso dal fatto che siamo noi comunque ad interpretare tutto questo.
"Lemniscata":
Pensare ad esempio che gli enti matematici che definiamo debbano avere un'esistenza metafisica in qualche iperuranio poteva andar bene all'epoca di Platone
io non ho detto questo, ho detto solo che i numeri sono il proseguo naturale della natura e che per questo sono nella natura stessa delle cose,non è che il nautilo quando si sviluppa conosca la spirale logaritmica oppure che prima che l'uomo inventasse i logaritmi tutto questo non avvenisse... che poi l'uomo li ha chiamati numeri è tutto un altro paio di maniche e tutto quello che ne è seguito è artificio umano che si fonda su un qualcosa di naturale e di conseguenza per come la vedo io perfetta, tra l'altro non sono per nulla antropocentrico
"Erwin Rommel":
Spiacente deluderti, finora l’unica struttura, per come è stata impostata, inattaccabile è quella matematica. Che poi impieghi la struttura matematica per spiegare una miriade di altre cose, a loro volta falsificabili, è cosa ben diversa.
Il mio ragionamento per un attimo aveva confuso invenzione con percezione come per le lettere per il linguaggio o le note per la musica, mea culpa per il resto non mi deludi affatto anche io sono convinto della inattaccabilità della matematica per come è stata strutturata e riguardo alla percezione dei colori so come funziona, il dibattito per l'esattezza era sul fatto che per alcuni fisici il colore esisteva perchè funzione di una certa lunghezza d'onda es. rosso tra 630 e 760nm e pertanto misurabile ed assoluta mentre per alcuni tale affermazione era sbagliata perchè non teneva conto dell'organo che capta questa lunghezza d'onda...per quanto mi riguarda sono d'accordo con questi ultimi, riguardo quanto ha asserito Peano alzo le mani anzi se vuoi darmi qualche spunto ne sarei felice perchè non conosco quello che tu hai accennato
Io penso che un ragionamento del genere può essere esteso ad una miriade di cose, l'altra sera vedevo un dibattito tra fisici sull'esistenza o meno dei colori e via discorrendo.
Spiacente deluderti, finora l’unica struttura, per come è stata impostata, inattaccabile è quella matematica. Che poi impieghi la struttura matematica per spiegare una miriade di altre cose, a loro volta falsificabili, è cosa ben diversa.
Per quanto riguarda il dibattito, mi sorprende che più fisici debbano avere un dibattito su una cosa così elementare. L'occhio umano è sensibile solamente alle onde elettromagnetiche con lunghezze d'onda comprese tra 400 e 700 nm (spettro visibile nell’uomo) e il colore degli oggetti che percepiamo dipende dalla lunghezza d ‘onda riflessa. Dipende poi da ciascuno dei tre diversi tipi di coni (3-5 milioni in ogni retina) e da come ciascun tipo di pigmento risponde a parte dello spettro luminoso. Ciascuno crea nella propria mente la variazione cromatica che chiama colore; se i tuoi pigmenti sono diversi dai miei la tua percezione della lunghezza d’onda che chiami “colore blu” è diversa e vedi un blu diverso da come lo vedo io. Animali diversi con tipi di coni diversi vedono i colori diversamente. Per una balena, se potesse spiegartelo, la variazione cromatica che percepiamo noi, nella sua realtà (o meglio quella che lei percepisce) non esiste in quanto il suo unico tipo di cono gli fa percepire la realtà del mondo in bianco e nero.
Poi non condiviso la citazione di Kronecher per il semplice fatto che Dio non ha creato nessun numero. E’ l’uomo che ha inventato un sistema di numerazione naturale (6 pecore, 4 cavalli); infatti si chiamo naturali per quello. Poi è sempre possibile definirlo come classe di insiemi aventi uguale cardinalità finita.
Che poi Peano asserisca "esiste" e lo faccia con l'imperativo mi fa riflettere, forse mi mancano tutte le sue premesse che lo hanno portato a sostenerlo.
Io invece sono contrario a queste esaltazioni metafisiche. La scienza e la matematica hanno molto di umano, e nulla di soprannaturale. Pensare ad esempio che gli enti matematici che definiamo debbano avere un'esistenza metafisica in qualche iperuranio poteva andar bene all'epoca di Platone, ma oggi che sappiamo quanto relativo sia il modo di procedere assiomatico una dichiarazione del genere mi pare un infantile atto di superbia antropocentrica.
Io penso che un ragionamento del genere può essere esteso ad una miriade di cose, l'altra sera vedevo un dibattito tra fisici sull'esistenza o meno dei colori e via discorrendo, a mio parere i numeri non esistono nell'accezione semplice del termine, nel senso che fisicamente non esistono, non esiste in fisica quantistica la particella che da vita ai numeri (per usare un esempio in voga in questi mesi) ma sembrano un proseguo perfetto del mondo naturale, del nostro mondo forse dovrei dire, ed a mio parere sono perfetti, pertanto converrei con la citazione di Kronecher, Dio o chicchesia li a creati e tutto il resto lo ha fatto l'uomo che ha iniziato a scoprire questo fantastico universo, del resto quando si parla di perfezione, e per me la matematica è la Scienza perfetta, è impossibile non accostarla a qualcosa di soprannaturale visto che la perfezione in se a ben poco a che fare con l'uomo....
Domandarsi se gli oggetti della matematica esistano davvero, è la stessa cosa che chiedersi se le lettere dell'alfabeto esistono oppure sono una costruzione dell'uomo, a mio parere.
Sono entrambi invenzioni, ma sono diverse le conseguenze del loro uso improprio.
Le lettere dell’alfabeto sono palesemente una invenzione dell’uomo che opportunamente combinate e con regole grammaticali riescono a formare delle frasi per comunicare un’idea, un concetto o una sensazione sensoriale ad un’altra persona.
Ma il significato che si attribuisce ad una parola può mutare ed essere accettato senza modificare la struttura del pensiero dell’altro soggetto o non minare le fondamenta della struttura. Faccio un esempio “evasore fiscale” è un soggetto economico che agisce con dolo o con colpa; ma nel recente mutare del termine un soggetto economico può trovarsi nell’indisponibilità finanziaria (vorrebbe ma non può) ed essere comunque un evasore. Ma ciò non mina le fondamenta del diritto tributario.
“CITAZIONI DA GREGORY BATESON. «L’essenza e la raison d’être della comunicazione è la creazione di ridondanza, di significato, di struttura, prevedibilità, informazione, e la riduzione della componente casuale mediante ‘restrizioni’» (G. Bateson, Stile, grazia e informazione nell’arte primitiva, in Verso un’ecologia della mente, trad. it., Adelphi, Milano 199010, p. 164).
Ancora in Verso un’ecologia della mente, nel saggio Una teoria del gioco e della fantasia, a p. 217 leggiamo: «La comunicazione verbale umana può operare, e in effetti opera sempre, a molti livelli di astrazione tra loro contrastanti. Tali livelli, a partire da quello, apparentemente semplice, dell’enunciazione (“il gatto è sulla stuoia”), si estendono in due direzioni. Una gamma o insieme di questi livelli più astratti comprende quei messaggi espliciti o impliciti in cui l’oggetto del discorso è il linguaggio; li chiameremo metalinguistici (per esempio: “il suono vocale ‘gatto’ sta per qualunque membro di una classe di oggetti così e così”, oppure “la parola ‘gatto’ non ha pelo e non graffia”). L’altro insieme di livelli di astrazione sarà da noi chiamato metacomunicativo (p. es. “il mio dirti dove trovare il gatto era amichevole”, oppure “questo è un gioco”)».”
Il dimostrare che gli enti primitivi esistano oppure no, a mio avviso, può essere irrilevante ma se cambia un concetto o mediante una successione di rigorosi passaggi logici, tutti perfettamente corretti, che conducono ad una conclusione assurda, per l’attuale struttura, cade tutto. Faccio un esempio: se si dimostra che 2+2=5 cade tutta la struttura dei modelli attualmente usata per interpretare la realtà o come la si ritiene tale.
La cosa favolosa del linguaggio e struttura matematica, a differenza di quella linguistica (vd. la citazione sopra) è che l’impalcatura costruita finora regge e i modelli, almeno quelli matematici che non devono interpretare la realtà, funzionano.
A proposito, è corretta questa attribuzione o è una citazione falsa? Perché non ho trovato fonti attendibili al riguardo...
Che strano, la citazione non appare in tedesco ma solo in inglese.
http://www-history.mcs.st-andrews.ac.uk ... lbert.html
“Mathematics is a game played according to certain simple rules with meaningless marks on paper.”
Quoted in N Rose Mathematical Maxims and Minims (Raleigh N C 1988).
Concordo, ai matematici non interessa quasi nulla discutere sull'esistenza o no degli oggetti matematici, sono questioni che lasciamo volentieri ai filosofi. La frase citata di Hilbert per altro rema un po' contro il modo di vedere la matematica dai matematici; un vero matematico quando fa matematica non riempie pagine di simboli che non significano niente, la matematica in realta' e' una cosa, il suo formalismo un'altra, e non vanno confuse le due cose: la vera matematica sta nelle idee e nei concetti, il formalismo ci serve solo per esprimere questi concetti e comunicarli con esattezza agli altri.
Domandarsi se gli oggetti della matematica esistano davvero, è la stessa cosa che chiedersi se le lettere dell'alfabeto esistono oppure sono una costruzione dell'uomo, a mio parere.
cosa sono le lettere, se non astrazioni di un linguaggio? perché scriviamo in un modo e non in un altro?
Ovviamente lo 0,1,2,3... non esistono, ma esistono in quanto gli si attribuisce un significato, delle proprietà.
I numeri sono un modo di rappresentare qualcosa di concreto, generalizzarlo, e nient'altro.
e concordo pienamente con Luca su di una cosa, qualunque scienza è costruita dall'uomo.
E ti ha portato un bellissimo esempio.
La legge $F=ma$ non ha alcun senso.
Ha senso solo quando si definisce la forza, la massa di un corpo e la sua accelerazione. E i suoi campi di applicabilità.
Ma cosa è la forza , la massa e l'accelerazione se non rappresentazioni astratte della realtà?
L'argomento è complesso, ma sotto il punto di vista matematico di poco interesse.
cosa sono le lettere, se non astrazioni di un linguaggio? perché scriviamo in un modo e non in un altro?
Ovviamente lo 0,1,2,3... non esistono, ma esistono in quanto gli si attribuisce un significato, delle proprietà.
I numeri sono un modo di rappresentare qualcosa di concreto, generalizzarlo, e nient'altro.
e concordo pienamente con Luca su di una cosa, qualunque scienza è costruita dall'uomo.
E ti ha portato un bellissimo esempio.
La legge $F=ma$ non ha alcun senso.
Ha senso solo quando si definisce la forza, la massa di un corpo e la sua accelerazione. E i suoi campi di applicabilità.
Ma cosa è la forza , la massa e l'accelerazione se non rappresentazioni astratte della realtà?
L'argomento è complesso, ma sotto il punto di vista matematico di poco interesse.
Beh, non tutti la pensano così, vedi i platonisti, ad esempio.
L'intera scienza è opera dell'uomo, non solo la matematica, nemmeno nelle leggi della fisica c'è qualcosa di reale: $F=ma$ non è una legge reale, è solo un modello che per adesso funziona, la realtà fa quel che vuole.
Secondo me tutta la matematica è opera dell'uomo derivante dal suo modo di vedere le cose. Non c'è nulla di veramente reale negli oggetti matematici, secondo la mia opinione. Che poi sia utile per capire il mondo, questo è un altro discorso; ma è utile proprio perché abbiamo sviluppato una matematica adatta al nostro modo di rappresentarci le cose.
Come dice una bellissima frase attribuita a David Hilbert: "La matematica è un gioco con alcune semplici regole, giocato con segni senza senso sulla carta."
OT: A proposito, è corretta questa attribuzione o è una citazione falsa? Perché non ho trovato fonti attendibili al riguardo...
Come dice una bellissima frase attribuita a David Hilbert: "La matematica è un gioco con alcune semplici regole, giocato con segni senza senso sulla carta."
OT: A proposito, è corretta questa attribuzione o è una citazione falsa? Perché non ho trovato fonti attendibili al riguardo...
I numeri naturali vengono costruiti all'interno della teoria assiomatica degli insiemi, quindi gli assiomi di Peano diventano in realta' dei teoremi: l'unica cosa non banale, che infatti e' un assioma (il piu' delicato) della teoria ZF e' affermare che i numeri naturali formano un insieme, e il problema e' che si tratta del primo insieme infinito per cui si postula l'esistenza (si ritorna all'infinito attuale dei greci). Accettato cio' il problema quindi si sposta sulla teoria ZF... ma e' chiaro che per fare qualcosa da qualcosa bisogna partire, dal nulla non si crea niente. In particolare, il quantificatore esistenziale e' un oggetto che fa parte dei linguaggi del primo ordine, quindi addirittura a monte della matematica. Un'osservazione finale: in matematica non ha praticamente mai importanza come gli oggetti vengono definiti: la cosa importante e' la classe di proprieta' che gli oggetti hanno. Non ha quindi molta importanza conoscere nel dettaglio come sono costruiti i naturali, gli assiomi di Peano sono invece davvero importanti. Un esempio piu' complesso e' dato dai reali: la costruzione dei reali in teoria degli insiemi e' molto piu' difficile di quella dei naturali, ma alla fine sia che uno vada per sezioni di Dedekind sia che uno completi $\mathbb Q$ sia che uno faccia altro, le proprieta' dei reali sono le cose che poi servono.
Sposto in Generale.
L'argomento dell'esistenza degli oggetti matematici è molto dibattuto in Filosofia, a partire dal significato che bisogna attribuire al termine.
Ti posso consigliare questo breve articolo di Goodstein in proposito.
Ti posso consigliare questo breve articolo di Goodstein in proposito.
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