Cosa significano le definizioni?
Vi siete mai chiesti il perché di una definizione?
I miei professori all'università (ingegneria), mi dicono sempre che è inutile chiedersi il perché delle definizioni. Vanno accettate per quello che sono, e sono appunto definizioni.
Ma se alla base della matematica ci stanno le definizioni (correggetemi se sbaglio, però senza definire le cose non si potrebbe fare nulla in matematica), queste definizioni avranno pure un senso, giusto?
Esempio.. La coppia ordinata (0,1) che appartiene a RxR ha una singolare proprietà: il suo quadrato fa il numero (-1,0). Quindi siamo di fronte ad un quadrato = -1.
Ma questo accade solo perché "noi" abbiamo definito che nel campo complesso (a,b) per (c,d) = (ac-bd,ad+bc).
Perché è stato definito il questo modo il prodotto di queste coppie ordinate?
Se noi l'avessimo definito in un altro modo, allora anche le applicazioni dei numeri complessi alla vita reale sarebbero diverse..
I miei professori all'università (ingegneria), mi dicono sempre che è inutile chiedersi il perché delle definizioni. Vanno accettate per quello che sono, e sono appunto definizioni.
Ma se alla base della matematica ci stanno le definizioni (correggetemi se sbaglio, però senza definire le cose non si potrebbe fare nulla in matematica), queste definizioni avranno pure un senso, giusto?
Esempio.. La coppia ordinata (0,1) che appartiene a RxR ha una singolare proprietà: il suo quadrato fa il numero (-1,0). Quindi siamo di fronte ad un quadrato = -1.
Ma questo accade solo perché "noi" abbiamo definito che nel campo complesso (a,b) per (c,d) = (ac-bd,ad+bc).
Perché è stato definito il questo modo il prodotto di queste coppie ordinate?
Se noi l'avessimo definito in un altro modo, allora anche le applicazioni dei numeri complessi alla vita reale sarebbero diverse..
Risposte
"Diplomacy":
Vi siete mai chiesti il perché di una definizione?
Sempre... E di solito si capisce "a posteriori".
"Diplomacy":
I miei professori all'università (ingegneria), mi dicono sempre che è inutile chiedersi il perché delle definizioni. Vanno accettate per quello che sono, e sono appunto definizioni.
Il che è condivisibile, ma fino ad un certo punto...
Spiego.
Quando si incontra la definizione di un oggetto per la prima volta c'è bisogno, sempre, di sospendere il giudizio per vedere dove tale definizione porta, cioè quali proprietà possono essere tirate fuori dagli oggetti che la definizione individua.
Una volta fatto ciò, ci si può pure chiedere "perchè" di quella definizione, come sia nata, cosa essa mascheri, quali possano essere le alternative, etc... Di solito la risposta a questi quesiti si trova fuori dalla Matematica stessa: infatti, studiando un po'[nota]Evidentemente, è un eufemismo...
[/nota] si capisce che:- [*:1niyk3yi] preferire una definizione ad un'altra è (quasi sempre) questione di gusti o di opportunità;
[/*:m:1niyk3yi]
[*:1niyk3yi] una definizione maschera esattamente le proprietà che da essa discendono in qualità di teoremi tipo "condizione necessaria e sufficiente"[nota]Classico esempio da Analisi I: la definizione di insieme compatto data in termini di successioni estratte ed il Teorema di Heine-Borel (compattezza equivale a limitatezza e chiusura). L'equivalenza espressa dal teorema implica che si potrebbe prendere come definizione di insieme compatto la combinazione insieme limitato e chiuso senza alterare la teoria, cioè individuando esattamente la stessa classe di insiemi.[/nota];
[/*:m:1niyk3yi]
[*:1niyk3yi] la nascita di una definizione segue un percorso storico complesso, mediamente lungo parecchi anni (anche un centinaio);
[/*:m:1niyk3yi]
[*:1niyk3yi] il "perchè" di una definizione è intimamente legato (oltre che ai fattori suddetti, cioè gusto/opportunità e storia) alla frequenza con cui oggetti con le proprietà presenti nella definizione si incontrano nella "pratica"[nota]Intesa latu senso, cioè sia come pratica "applicativa" sia come pratica "teorica".[/nota]; e ciò è tanto più vero quando la definizione crea un uso linguistico, poiché psicologicamente siamo portati a dare un nome a cose che abbiamo sempre uguali sotto gli occhi.[/*:m:1niyk3yi][/list:u:1niyk3yi]
"Diplomacy":
Ma se alla base della matematica ci stanno le definizioni (correggetemi se sbaglio, però senza definire le cose non si potrebbe fare nulla in matematica), queste definizioni avranno pure un senso, giusto?
Esempio.. La coppia ordinata (0,1) che appartiene a RxR ha una singolare proprietà: il suo quadrato fa il numero (-1,0). Quindi siamo di fronte ad un quadrato = -1.
Ma questo accade solo perché "noi" abbiamo definito che nel campo complesso (a,b) per (c,d) = (ac-bd,ad+bc).
Perché è stato definito il questo modo il prodotto di queste coppie ordinate?
Perchè funziona, in quanto rende possibile fare le manipolazioni algebriche che Tartaglia e Cardano già facevano nel medioevo coi numeri complessi in contesto puramente euristico (non formale) quando cercavano di determinare le espressioni delle radici delle equazioni di terzo grado.
Ovviamente, quello di definire il campo complesso come \(\mathbb{R}^2\) dotato di due operazioni definite così e così non è l'unico modo di definire \(\mathbb{C}\).
Ad esempio, si potrebbe definire \(\mathbb{C}\) direttamente come l'insieme \(\{a+b\mathbb{i},\ a,b\in \mathbb{R}\}\) (cioè come estensione algebrica di \(\mathbb{R}\) ottenuta aggiungendo l'elemento \(\mathbb{i}\)), specificando che \(\mathbb{i}\) è una radice del polinomio \(x^2+1\). In tal modo le regole di addizione e moltiplicazione, direttamente nella forma:
\[
\begin{split}
(a_1+b_1\mathbb{i})+(a_2+b_2\mathbb{i}) &= (a_1+a_2)+(b_1+b_2)\mathbb{i}\\
(a_1+b_1\mathbb{i})\cdot (a_2+b_2\mathbb{i}) &= (a_1a_2-b_1b_2)+(a_1b_2+b_1a_2)\mathbb{i}\; ,
\end{split}
\]
diventerebbero dei teoremi.
"Diplomacy":
Se noi l'avessimo definito in un altro modo, allora anche le applicazioni dei numeri complessi alla vita reale sarebbero diverse..
Qui confondi causa ed effetto.
Il campo complesso è definito così proprio a causa delle sue applicazioni. In altri termini, si può dire che sono state le applicazioni a suggerire le regole di somma e prodotto.
Quindi la domanda che poni non ha molto senso.
Guarda, se vuoi il riassunto del mio messaggio è contenuto nella barzelletta che ti ho proposto...
Mi spiace ma non ho capito il tuo messaggio j18eos..
"Diplomacy":Non sono un logico, ma le vesti me le straccio lo stesso!
...I miei professori all'università (ingegneria), mi dicono sempre che è inutile chiedersi il perché delle definizioni. Vanno accettate per quello che sono, e sono appunto definizioni...
A questo punto, in conseguenza di questa affermazione: se un matematico che fa ricerca definisce[nota]C'è chi affermerebbe che si introducono concetti non ancora noti, ma in questo thread non è il caso di usare la filosofia platonica...[/nota] nuovi concetti, senza (almeno) darsi delle motivazioni o delle spiegazioni, incorre in sbagli ed errori fatali; o nel peggiore dei casi si implementa la seguente barzelletta[nota]O almeno mi auguro che sia solo una barzelletta[/nota].
Uno studente[nota]I misogeni posso pensare che sia una studentessaCome mi fu detto, ci sono anche matematici che fanno studi seri sulle definizioni stesse; quindi bisogna IMHO cercare un equilibrio tra il capire una definizione, trovarne delle spiegazioni ed avere degli esempi in mente che la implementino.[/nota] sta sostenendo l'esame finale di dottorato; un commissario gli chiede:"Mi faccia un esempio di questo nuovo oggetto che lei ha definito." Dopo diversi tentativi senza successo, risponde lo stesso commissario:"Se vuole, le dimostro che lei ha definito in altra maniera l'insieme vuoto."
Il perché delle definizioni sta nella mente di chi le crea e di chi le usa. Nel momento in cui un ricercatore si approccia a un problema inizia a costruirsi gli strumenti di cui ha bisogno per risolverlo avendo chiaro dove vuole arrivare. Per esempio i numeri complessi sono stati definiti la prima volta se non erro con l'obbiettivo di dare una soluzione anche alle equazioni del tipo $ ax^2+bx+c=0 $ che non ne avevano in campo reale, quindi come soluzione puramente matematica a un problema puramente matematico.
In seguito gli ingegneri e i fisici come spesso accade si sono accorti che questi oggetti potevano rappresentare molto bene le proprietà di alcuni fenomeni fisici e quindi gli hanno implementati nei loro modelli.
Ha ragione il tuo professore quando dice di non chiederti il perché, nella didattica prima ti vengono dati gli strumenti (le definizioni) e poi ti viene presentato il problema che essi risolvono quindi fino a quanto non ti trovi davanti al problema è ovvio che non puoi capirne l'utilità.
Agli occhi di una casalinga sia il campo complesso che quello reale sono sterili definizioni, non servono a modellare nessuno dei problemi che si è mai posta. Agli occhi di un attuario che deve fare dei conti ecco che il campo reale diventa indispensabile, ma il complesso è ancora inutile. Infine agli occhi di un ingegnere anche il campo complesso acquista importanza e andando oltre per i fisici teorici anche altri campi come quello dei numeri duali.
Adesso puoi viverla come una casalinga che è stata legata a una sedia da una gang di matematici pervertiti che hanno deciso che non potrà andare a fare la spesa fino a quando non saprà dimostrare il teorema spettrale, oppure puoi capire che ti stai costruendo il framework necessario a operare nel tuo settore e concentrarti sulle proprietà matematiche di questi oggi sapendo che un giorno il perché ti sarà chiaro.
In seguito gli ingegneri e i fisici come spesso accade si sono accorti che questi oggetti potevano rappresentare molto bene le proprietà di alcuni fenomeni fisici e quindi gli hanno implementati nei loro modelli.
Ha ragione il tuo professore quando dice di non chiederti il perché, nella didattica prima ti vengono dati gli strumenti (le definizioni) e poi ti viene presentato il problema che essi risolvono quindi fino a quanto non ti trovi davanti al problema è ovvio che non puoi capirne l'utilità.
Agli occhi di una casalinga sia il campo complesso che quello reale sono sterili definizioni, non servono a modellare nessuno dei problemi che si è mai posta. Agli occhi di un attuario che deve fare dei conti ecco che il campo reale diventa indispensabile, ma il complesso è ancora inutile. Infine agli occhi di un ingegnere anche il campo complesso acquista importanza e andando oltre per i fisici teorici anche altri campi come quello dei numeri duali.
Adesso puoi viverla come una casalinga che è stata legata a una sedia da una gang di matematici pervertiti che hanno deciso che non potrà andare a fare la spesa fino a quando non saprà dimostrare il teorema spettrale, oppure puoi capire che ti stai costruendo il framework necessario a operare nel tuo settore e concentrarti sulle proprietà matematiche di questi oggi sapendo che un giorno il perché ti sarà chiaro.
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