Coppie ordinate e senso pratico
E' corretto dal punto di vista formale dire che una coppia ordinata di tipo (a, b), avente a=b, sia uguale a quella (b, a), con b sempre uguale ad a? Cioè, è necessario effettuare una distinzione tra il senso pratico (che ci suggerisce di sì, basti pensare alle coppie che definiscono i punti in un sistema di due assi cartesiani) e il senso logico più rigoroso? Oppure le conferme della pratica renderebbero inutile un'eventuale distinzione?
Risposte
Come definisci una coppia ordinata? Ci sono vari modi. Quello più diffuso (perchè più semplice) è quello che ti ho detto di Kuratowski.
Per dire che due cose sono uguali devi fare riferimento alla loro definizione.
Per dire che due cose sono uguali devi fare riferimento alla loro definizione.
Quindi Megan, secondo te per dimostrare l'uguaglianza formale tra le due coppie mi basterebbe partire dalla formulazione di Kuratowski (che sinceramente non mi è nemmeno molto chiara, per colpa della mia ignoranza, ovviamente)?
Se gli insiemi A e B sono diversi ma a=b sta nell'intersezione $A nn B$ si può parlare di uguaglianza.
Per precisione la coppia ordinata (a,b) si definisce insiemisticamente in molti modi. Quello che va per la maggiore è la coppia ordinata di Kuratowski definita come:
(a,b)={{a},{a,b}}.
E' evidente che se a=b l'identità (a,b)=(b,a) si riduce a {{a}}={{b}} vero banalmente.
Per precisione la coppia ordinata (a,b) si definisce insiemisticamente in molti modi. Quello che va per la maggiore è la coppia ordinata di Kuratowski definita come:
(a,b)={{a},{a,b}}.
E' evidente che se a=b l'identità (a,b)=(b,a) si riduce a {{a}}={{b}} vero banalmente.
Ci penso un po', ok? Aspettando magari altre eventuali risposte chiarificatrici. Comunque, grazie per le risposte ad entrambi.
... se l'intento è verificare "l'uguaglianza degli insiemi delle coppie ordinate..." OK.
se a e b appartengono a due insiemi distinti, ovviamente non è la stessa cosa.
però ci dobbiamo chiedere piuttosto se ha senso parlare di uguaglianza tra gli elementi di due diversi insiemi...
formalmente a e b devono appartenere a due insiemi A, B di cui consideriamo il prodotto cartesiano. quindi (a,b) appartiene ad AxB, (b,a) a BxA...
quindi la risposta sarebbe no. ma è vero anche che noi scriviamo a=b. con quale "diritto"?
ed in effetti se consideriamo il classico piano cartesiano, A=B=R, e parliamo quindi di punti "coincidenti" sulla bisettrice di I e III quadrante.
quindi per me la risposta è sì, ma è legata al poter scrivere formalmente a=b...
ciao. fammi sapere che cosa ne pensi.
se a e b appartengono a due insiemi distinti, ovviamente non è la stessa cosa.
però ci dobbiamo chiedere piuttosto se ha senso parlare di uguaglianza tra gli elementi di due diversi insiemi...
formalmente a e b devono appartenere a due insiemi A, B di cui consideriamo il prodotto cartesiano. quindi (a,b) appartiene ad AxB, (b,a) a BxA...
quindi la risposta sarebbe no. ma è vero anche che noi scriviamo a=b. con quale "diritto"?
ed in effetti se consideriamo il classico piano cartesiano, A=B=R, e parliamo quindi di punti "coincidenti" sulla bisettrice di I e III quadrante.
quindi per me la risposta è sì, ma è legata al poter scrivere formalmente a=b...
ciao. fammi sapere che cosa ne pensi.
se hai che $a=b$ allora $(a,b)=(b,a)$; infatti dovresti confrontare le prime coordinate ($a=b$ vera direttamente per ipotesi) e poi le seconde coordinate ($b=a$ altrettanto banalmente vera per ipotesi).
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