Come si insegna la matematica ai futuri ingegneri
Salve, volevo parlare con voi di come si insegna la matematica nelle università ai futuri ingegneri.
Nelle facoltà di Ingegneria i primi corsi di matematica che si affrontano sono quelli di Analisi e di Geometria. Ora, non mi lamento tanto dei contenuti dei corsi, contenuti che, sebbene nettamente meno cospicui rispetto ai cld in Matematica, sono tutto sommato abbastanza completi, quanto piuttosto del fatto che tali corsi vengono impartiti senza che lo studente abbia i giusti prerequisiti.
Se ho capito bene, la matematica dovrebbe essere come un castello di carte: basta che ne togli una e crolla tutto. Ciò mi fa dedurre che per comprendere adeguatamente un argomento, bisogna aver compreso perfettamente gli argomenti a monte di esso.
Io ho fatto l'esame di Analisi 1 a febbraio di quest'anno, superandolo anche con 25; tuttavia, posso dire con certezza che, quando feci tale esame, di matematica non sapevo quasi nulla. Dico questo perchè, iniziando a RIstudiare tutto seriamente, mi sto rendendo conto di quanti concetti preliminari siano alla base dell'Analisi, concetti che non vengono studiati neanche nelle scuole superiori.
Per esempio, solo ora sto apprezzando la teoria degli insiemi, oppure solo ora ho scoperto che il concetto di funzione è un caso particolare di quello più generale di relazione, e tante altre cose che nei corsi di analisi di ingegneria non vengono affrontate.
Ora qualcuno di voi potrà dirmi: "se volevi studiare la matematica per bene ti dovevi iscrivere a matematica"...
Beh, io sono dell'idea che la matematica o la si insegna bene, senza dare nulla per scontato, o non serve a nulla insegnarla.
Quindi, indipendentemente dal corso di laurea che uno sta frequentando, se in quel corso di laurea c'è un esame di matematica, analisi per esempio, io penso che sia inammissibile spiegare tali argomenti senza affrontare prima lo studio dell'algebra, dell'insiemistica e di tutto ciò che è alla base dell'analisi, in quanto così facendo si sprecherebbe solo tempo.
Insomma, per un ingegnere la matematica è fondamentale, quindi è giusto che sia fatta studiare bene ed in maniera completa. Non posso studiare il concetto di funzione senza sapere che cos'è una relazione, non posso studiare le definizioni di maggiorante-minorante senza sapere che cos'è un insieme ordinato e cosi via. E vi assicuro che tutte queste cose, almeno nel mio corso di Analisi, non sono state nemmeno accennate.
Per fare una metafora, la situazione nella quale mi sono trovato è analoga a quella di un meccanico che deve imparare ad aggiustare un motore avendo a disposizione solo un cacciavite
Nelle facoltà di Ingegneria i primi corsi di matematica che si affrontano sono quelli di Analisi e di Geometria. Ora, non mi lamento tanto dei contenuti dei corsi, contenuti che, sebbene nettamente meno cospicui rispetto ai cld in Matematica, sono tutto sommato abbastanza completi, quanto piuttosto del fatto che tali corsi vengono impartiti senza che lo studente abbia i giusti prerequisiti.
Se ho capito bene, la matematica dovrebbe essere come un castello di carte: basta che ne togli una e crolla tutto. Ciò mi fa dedurre che per comprendere adeguatamente un argomento, bisogna aver compreso perfettamente gli argomenti a monte di esso.
Io ho fatto l'esame di Analisi 1 a febbraio di quest'anno, superandolo anche con 25; tuttavia, posso dire con certezza che, quando feci tale esame, di matematica non sapevo quasi nulla. Dico questo perchè, iniziando a RIstudiare tutto seriamente, mi sto rendendo conto di quanti concetti preliminari siano alla base dell'Analisi, concetti che non vengono studiati neanche nelle scuole superiori.
Per esempio, solo ora sto apprezzando la teoria degli insiemi, oppure solo ora ho scoperto che il concetto di funzione è un caso particolare di quello più generale di relazione, e tante altre cose che nei corsi di analisi di ingegneria non vengono affrontate.
Ora qualcuno di voi potrà dirmi: "se volevi studiare la matematica per bene ti dovevi iscrivere a matematica"...
Beh, io sono dell'idea che la matematica o la si insegna bene, senza dare nulla per scontato, o non serve a nulla insegnarla.
Quindi, indipendentemente dal corso di laurea che uno sta frequentando, se in quel corso di laurea c'è un esame di matematica, analisi per esempio, io penso che sia inammissibile spiegare tali argomenti senza affrontare prima lo studio dell'algebra, dell'insiemistica e di tutto ciò che è alla base dell'analisi, in quanto così facendo si sprecherebbe solo tempo.
Insomma, per un ingegnere la matematica è fondamentale, quindi è giusto che sia fatta studiare bene ed in maniera completa. Non posso studiare il concetto di funzione senza sapere che cos'è una relazione, non posso studiare le definizioni di maggiorante-minorante senza sapere che cos'è un insieme ordinato e cosi via. E vi assicuro che tutte queste cose, almeno nel mio corso di Analisi, non sono state nemmeno accennate.
Per fare una metafora, la situazione nella quale mi sono trovato è analoga a quella di un meccanico che deve imparare ad aggiustare un motore avendo a disposizione solo un cacciavite
Risposte
"Deckard":
dovrebbero invece dare gli strumenti per colmare le proprie lacune matematiche ogni qual volta ce ne è bisogno.
come non quotarti Deckard
"Martino":
Con questo mi ricollego a quanto dice lisdap, col quale sono parzialmente d'accordo. E' vero che a fisica e ingegneria non si tratta della matematica in modo approfondito, ed è vero che si dovrebbe fare più matematica e meglio. Però questo porterebbe a una riforma abbastanza netta della strutturazione dei corsi. Insomma, ci vorrebbero almeno due anni solo per fare bene la matematica che serve, per non parlare di quella che potrebbe servire. Non so quanto sia non difficile procedere a un cambiamento così radicale.
Ma soprattutto a che pro? La matematica in corsi di laurea quali ingegneria, fisica e informatica deve essere mirata, non va fatta tanto per il gusto enciclopedico di farla. Quello che questi corsi di laurea dovrebbero insegnare maggiormente è la capacità di usare la matematica, che non vuol dire essere capaci di calcolare integrali tripli (o meglio, non solo), ma di saper modellare correttamente un problema e risolverlo con gli strumenti matematici adatti. Quello che a molti di questi corsi manca è la possibilità, per chi vuole, di poter anche imparare a "produrre" matematica, ovvero di avere gli strumenti per poter formulare e risolvere problemi con il giusto grado di astrazione e formalità. Cosa che risulterà necessaria a tutti coloro faranno poi i ricercatori nelle aree teoriche (ma non solo) delle varie discipline.
Però non si può pretendere che per parlare di numeri naturali uno studente di ingegneria debba conoscere l'aritmetica di Peano.
E soprattutto, come ho già detto, la matematica insegnata in questi corsi deve essere utile per la comprensione della disciplina stessa: il tempo è limitato, ottimizziamolo meglio per raggiungere gli scopi che ci prefissiamo. Perché se insegniamo l'integrale di Lebesgue alle matricole di informatica, a parte che gli unici laureati sarebbero poi i teorici, non si avrebbe il tempo per insegnare le cose che un informatico DEVE conoscere.
Su cstheory (un forum alla mathoverflow, uno stackoverflow dell'informatica teorica in pratica) c'è un lungo thread sulle branche della matematica che un informatico teorico deve conoscere per fare ricerca: le risposte più gettonate, date da gente come Peter Shor eh, sono state: se t'interessa un'area della matematica in particolare, studiala, male non fa e c'è buona possibilità che in qualche modo potrebbe finire per servirti; altrimenti, studia ciò che ti serve: sei interessato al distribuited computing e ti piacerebbe tanto leggere un articolo che però utilizza molti strumenti dalla topologia: beh, prenditi una pausa di due, tre settimane e leggiti una buona introduzione alla topologia.
Tutto questo per dire che i corsi di laurea diversi da matematica non dovrebbero necessariamente aumentare il numero di corsi di carattere matematico o spiegare la teoria assiomatica degli insiemi perché vengono usati gli insiemi, dovrebbero invece dare gli strumenti per colmare le proprie lacune matematiche ogni qual volta ce ne è bisogno.
"Martino":
Però questo porterebbe a una riforma abbastanza netta della strutturazione dei corsi. Insomma, ci vorrebbero almeno due anni solo per fare bene la matematica che serve, per non parlare di quella che potrebbe servire. Non so quanto sia non difficile procedere a un cambiamento così radicale.
Qualche tempo fa parlai con un "vecchio" ingegnere meccanico il quale mi disse che lui, fra i tanti esami, dovette dare anche Geometria 2. Nei programmi di oggi di Geometria 2 non c'è traccia.
Secondo me lo spazio che si dà alla Matematica nelle facoltà tecnico-scientifiche è molto poco. Come aveva detto giustamente Gugo, meno di un semestre per un corso di Analisi è davvero una miseria. E poi c'è da considerare che in quei 4-5 mesi di corsi non c'è da studiare soltanto Analisi, ma anche Fisica, e tante altre belle materie che però non possono essere apprezzate del tutto perchè non si hanno gli strumenti matematici necessari. Insomma, un "casino nel casino": non solo si fa poca Matematica e male, ma la si sovrappone a tante altre materie che non possono essere studiate per bene perchè non si sa la Matematica.
Esempio: ci hanno fatto studiare Fisica 1, Fisica 2 e Fisica Tecnica senza sapere Analisi 2. Secondo voi è normale?
Poi non lamentiamoci se per una piccola scossa crollano ponti, case ecc...Non sto scherzando. Io penso con convinzione che la maggior parte del marcio che esiste in Italia, ovviamente relativamente a infrastrutture e progetti vari di carattere ingegneristico, derivi da come vengono insegnate le cose nelle università.
Altra cazzata, scusate il termine: nel primo semestre del secondo anno del mio cld figura una materia che si chiama elettrotecnica. Bene, il professore di elettrotecnica, il primo giorno di corso, ha detto: "per studiare elettrotecnica dovete sapere prima fisica 2 e quindi analisi 2". Tuttavia noi gli facciamo presente che fisica 2 ed analisi 2 si stanno svolgendo in quel momento, al che lui risponde:"io sono pagato per spiegare, se capite o non capite sono cavoli vostri".
Penso sia chiaro, dunque, in quali condizioni ci fanno studiare. Mi fa veramente incazzare questo modo di fare
Tra l'altro sto seguendo un corso di fisica teorica in cui si parla di gruppi di Lie e algebre di Lie, alla "fisica" naturalmente 
(cioè senza dimostrazioni).
Con questo mi ricollego a quanto dice lisdap, col quale sono parzialmente d'accordo. E' vero che a fisica e ingegneria non si tratta della matematica in modo approfondito, ed è vero che si dovrebbe fare più matematica e meglio. Però questo porterebbe a una riforma abbastanza netta della strutturazione dei corsi. Insomma, ci vorrebbero almeno due anni solo per fare bene la matematica che serve, per non parlare di quella che potrebbe servire. Non so quanto sia non difficile procedere a un cambiamento così radicale.
(cioè senza dimostrazioni).Con questo mi ricollego a quanto dice lisdap, col quale sono parzialmente d'accordo. E' vero che a fisica e ingegneria non si tratta della matematica in modo approfondito, ed è vero che si dovrebbe fare più matematica e meglio. Però questo porterebbe a una riforma abbastanza netta della strutturazione dei corsi. Insomma, ci vorrebbero almeno due anni solo per fare bene la matematica che serve, per non parlare di quella che potrebbe servire. Non so quanto sia non difficile procedere a un cambiamento così radicale.
Aggiungo a quanto detto da Martino che cose come le rappresentazioni di gruppi e le algebre e i gruppi di Lie hanno moltissime applicazioni fisiche e permettono di sapere cose su varie equazioni differenziali che sono molto più difficili da fare con metodi prettamente analitici. Comunque ognuno poi è libero di scegliere il percorso che più gli interessa.
Comunque io personalmente i prerequisiti per capire il corso di analisi I, per quanto non l'abbia dato splendidamente, li avevo. È evidente che però con il tempo ho scoperto cose dell'analisi che durante il corso non avevo compreso a fondo. Ma è normale.
Comunque io personalmente i prerequisiti per capire il corso di analisi I, per quanto non l'abbia dato splendidamente, li avevo. È evidente che però con il tempo ho scoperto cose dell'analisi che durante il corso non avevo compreso a fondo. Ma è normale.
Apro e chiudo una parentesi.
"gugo82":Gugo, permettimi di dirti che secondo me hai una visione un po' "limitata" dell'algebra. E' vero che a volte gli algebristi si mettono a generalizzare e costruire solo per il gusto di farlo, ma ti posso dire che le idee alla base dell'algebra sono molto concrete. E le tecniche introdotte servono per risolvere i problemi che saltano fuori, proprio come in qualsiasi altro campo della matematica. Ti faccio un esempio di aritmetica anche se so che a te non piace: un numero primo è scrivibile come somma di due quadrati se e solo se è congruo a 1 modulo 4. Ora, a te questo può sembrare un risultato inutile o non interessante, ma sta di fatto che le tecniche per la sua dimostrazione si prestano ad essere generalizzate. E per dimostrare questo risultato servono nozioni algebriche quali anello e ideale, senza le quali bisognerebbe fare costruzioni complicate ad hoc e dimenticarle subito dopo. In altre parole, senza l'introduzione di particolari strutturazioni non si riuscirebbe a generalizzare le idee. Che dire poi della teoria di Galois? Problemi relativi a zeri di polinomi che, tramite costruzioni e corrispondenze, vengono tradotti in problemi di teoria dei gruppi... Se un giorno ci dovessimo trovare mi piacerebbe parlarti di quanto l'algebra si può amare.
Ad esempio, mi sono guardato bene dal seguire corsi di Algebra avanzata, o di Teoria degli Insiemi.
Sono temi che non mi hanno mai interessato, perché il più delle volte mi sembra di avere a che fare con oggetti fondamentalmente semplici che vengono complicati ad arte.
"gugo82":
Ma lo sai che io non ho mai fatto uno scritto di Analisi I e II, perché avevo un insegnante di Analisi della "vecchia scuola"?
E secondo te, quando ho rivisto in maniera critica il mio percorso, non mi sono chiesto perché non conoscevo molte tecniche di risoluzione degli esercizi nonostante un 30?
Ecco, andando leggermente fuori tema: mi interessa questo aspetto.
Nella mia università il professore di ricerca operativa/ottimizzazione (tra l'altro nel suo curriculum si legge "laureato all'università di Napoli nel 1981" tanto per collegarmi a gugo82
) in discorso ha detto di non aver fatto analisi I e che la sua "analisi I" era topologia o una cosa simile. Tra l'altro non mi stupirei se non avesse fatto neanche analisi II o III dal momento che ci è rimasto male quando gli ho detto che per fare analisi funzionale occorreva analisi III: non lo sapeva!Collegandomi a quello che ha scritto gugo82 quando dice che non gli interessa l'algebra, io, nella scelta dei corsi per la magistrale, ho saltato a pié pari la geometria (tranne geometria II che ho dovuto farla "per forza") preferendo analisi funzionale e analisi superiore. Lascio ciambelle, varietà e bottiglie di klein a chi ama davvero certe cose...
A tal pro, mi viene in mente anche un'affermazione del mio professore di Logica Matematica
"venite qua a fare l'esame e non sapete nemmeno cos'è un numero primo, avreste dovuto seguire matematica ai miei tempi quando gli esami erano esami e si chiedevano in massa teoremi e dimostrazioni con orali che duravano minimo un ora."
L'ha detta quando una ragazza è andata all'orale di Crittografia... senza sapere la definizione di numero primo...
Tornando a prima mi ha stupito un po' questa dichiarazione dal momento che, da studente "recente" del cdl in matematica, do per scontato che è obbligatorio fare analisi I e II.
Allora mi chiedo, ma chi ha deciso i programmi e in base a quale criterio ha deciso?
"gugo82":
Perché si è scelto di comprimere Analisi I in un solo semestre, mentre prima era insegnata in un corso annuale? Siamo sicuri che chi esce dalle superiori abbia i mezzi per comprendere l'Analisi Matematica "strizzata" in un solo semestre? Non sarebbe stato necessario rivedere i programmi delle Superiori alla luce della riforma universitaria? (Esistono ancora i programmi delle Superiori?) Perché ciò non è stato fatto? Cosa posso fare io per cercare di far ragionare chi mi governa su questi aspetti della faccenda? Etc...
Il fatto dei programmi è una cosa che mi chiedo da quando ho iniziato con l'università: corsi scelti a cavolo messi in modo ridicolo e fatti da professori discutibili. Non so come sono le situazioni nelle altre università, io mi baso sulla mia esperienza.
Ho visto che almeno una metà dei professori (con cui ho avuto a che fare) è del tipo "copia-incolla" nel senso che hanno dispense e/o testi che riportano fedelmente alla lavagna durante la lezione senza aggiungere nulla o quasi nulla dal canto loro. Sinceramente è una cosa che trovo abbastanza scocciante dal momento che io sono lì per "afferrare" concetti, non per "ricopiare il libro e/o la dispensa" scritti alla lavagna.
E una cosa più fastidiosa è quando un certo tipo di atteggiamento viene usato in corsi (secondo me) basilari come l'analisi I o analisi II.
Da me analisi I è fatta "di corsa" perché qualunque professore che ha quella cattedra come frase dice "non ho abbastanza ore per farla" ed è un'affermazione che mi fa veramente incavolare e che, ringraziando il cielo, l'ho sentita una volta sola (e altri me l'hanno raccontata gli anni successivi). Di quest'anno non so dire perché è cambiato docente e perché non sto all'uni ma studio a casa.
[OT]
Interessante. Ho visto tanti usi e costumi, ma mi mancavano ancora esami di Analisi senza scritto. In cosa consistevano?[/quote]
Beh, consistevano in orali lunghi in cui si chiedeva di risolvere qualche esercizio semplice (anzi, elementare), ma soprattutto si insisteva sulla teoria.
E quando dico lunghi, intendo "davvero lunghi": ogni mio orale di Analisi (quattro: Analisi I e II, ognuno diviso in due moduli) è durato circa due ore (il più lungo, due ore e mezza).
Per far capire il livello degli esercizi: all'esame di Analisi I mod. B (quello che conteneva il Calcolo Differenziale ed Integrale) ho dovuto studiare la funzione \(f(x):=\frac{1}{x} \ln x\)...
Invece, quando si passava alla teoria, cominciava la sfilata dei teoremi "lunghi": teorema del Dini (in ipotesi "scomode"), teorema di esistenza ed unicità per le soluzioni del Problema di Cauchy (fatta con le iterate di Picard), il criterio di integrabilità di Vitali-Lebesgue, etc...
Ad ogni modo, parlando con una docente di Algebra prossima alla pensione, ho avuto modo di capire che questo modo di fare l'esame di Analisi ai Matematici era comune tra i professori della "vecchia guardia" (intendo, quelli della generazione di Miranda, Ciliberto e giù di lì), i quali invece indugiavano più sugli esercizi quando esaminavano gli ingegneri...
Dai racconti di tale professoressa ho intuito che, tempo fa, i laureati in Matematica si trovavano a dover imparare a fare gli esercizi quando andavano ad insegnare agli ingegneri, ed alcune volte avevano qualche difficoltà.
Questa sovrapposizione, credo, sia dipesa dall'ordinamento "ibrido" in cui sono capitato: l'ultimo ordinamento quadriennale, però con i corsi divisi in moduli... Praticamente 30 esami, contro i 15 standard del V.O.
P.S.: Di scritti di Analisi ne ho fatti solo tre (su dieci moduli): due di Analisi III, cioè teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue (tipo, studio della sommabilità di una funzione rispetto ad una misura) e funzioni di variabile complessa (studio della funzione e calcolo di integrali coi residui), ed uno di Analisi Superiore (soluzione di una PDE del primo ordine e classificazione di PDE del secondo ordine a coefficienti variabili).
P.P.S.: Uno dei meriti di questo forum è stato quello di permettermi di raffinare alcune tecniche che già conoscevo (perché, nonostante non dovessi fare esami scritti, gli esercizi me li facevo lo stesso) ma che erano state usate davvero poco.
Anche per questo sono molto affezionato a questa community e mi spendo così tanto qui sopra.
[/OT]
"Cmax":
[quote="Gugo82"]io non ho mai fatto uno scritto di Analisi I e II, perché avevo un insegnante di Analisi della "vecchia scuola"
Interessante. Ho visto tanti usi e costumi, ma mi mancavano ancora esami di Analisi senza scritto. In cosa consistevano?[/quote]
Beh, consistevano in orali lunghi in cui si chiedeva di risolvere qualche esercizio semplice (anzi, elementare), ma soprattutto si insisteva sulla teoria.
E quando dico lunghi, intendo "davvero lunghi": ogni mio orale di Analisi (quattro: Analisi I e II, ognuno diviso in due moduli) è durato circa due ore (il più lungo, due ore e mezza).
Per far capire il livello degli esercizi: all'esame di Analisi I mod. B (quello che conteneva il Calcolo Differenziale ed Integrale) ho dovuto studiare la funzione \(f(x):=\frac{1}{x} \ln x\)...
Invece, quando si passava alla teoria, cominciava la sfilata dei teoremi "lunghi": teorema del Dini (in ipotesi "scomode"), teorema di esistenza ed unicità per le soluzioni del Problema di Cauchy (fatta con le iterate di Picard), il criterio di integrabilità di Vitali-Lebesgue, etc...
Ad ogni modo, parlando con una docente di Algebra prossima alla pensione, ho avuto modo di capire che questo modo di fare l'esame di Analisi ai Matematici era comune tra i professori della "vecchia guardia" (intendo, quelli della generazione di Miranda, Ciliberto e giù di lì), i quali invece indugiavano più sugli esercizi quando esaminavano gli ingegneri...
Dai racconti di tale professoressa ho intuito che, tempo fa, i laureati in Matematica si trovavano a dover imparare a fare gli esercizi quando andavano ad insegnare agli ingegneri, ed alcune volte avevano qualche difficoltà.
"Cmax":
Tra l'altro mi sembra di capire che è stato sempre lo stesso insegnante per Analisi I e II. Questa non è un'ibridazione dalla "nuova scuola"?
Questa sovrapposizione, credo, sia dipesa dall'ordinamento "ibrido" in cui sono capitato: l'ultimo ordinamento quadriennale, però con i corsi divisi in moduli... Praticamente 30 esami, contro i 15 standard del V.O.
P.S.: Di scritti di Analisi ne ho fatti solo tre (su dieci moduli): due di Analisi III, cioè teoria della misura e dell'integrazione di Lebesgue (tipo, studio della sommabilità di una funzione rispetto ad una misura) e funzioni di variabile complessa (studio della funzione e calcolo di integrali coi residui), ed uno di Analisi Superiore (soluzione di una PDE del primo ordine e classificazione di PDE del secondo ordine a coefficienti variabili).
P.P.S.: Uno dei meriti di questo forum è stato quello di permettermi di raffinare alcune tecniche che già conoscevo (perché, nonostante non dovessi fare esami scritti, gli esercizi me li facevo lo stesso) ma che erano state usate davvero poco.
Anche per questo sono molto affezionato a questa community e mi spendo così tanto qui sopra.
[/OT]
"Gugo82":
io non ho mai fatto uno scritto di Analisi I e II, perché avevo un insegnante di Analisi della "vecchia scuola"
Interessante. Ho visto tanti usi e costumi, ma mi mancavano ancora esami di Analisi senza scritto. In cosa consistevano?
Tra l'altro mi sembra di capire che è stato sempre lo stesso insegnante per Analisi I e II. Questa non è un'ibridazione dalla "nuova scuola"?
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Non vengono affrontate perché sono nozioni che "mediamente" ad un ingegnere non serve approfondire.
Prova a leggerti un libro di Analisi di cinquant'anni fa, quando Matematici ed Ingegneri studiavano Analisi assieme: nemmeno allora si insisteva su queste formalità algebriche.
Formalità algebriche? Mica tanto...[/quote]
Ma sì lisdap... Ad esempio, quante volte, nello studio dell'Analisi o della Geometria, hai trovato le funzioni pensate come particolari relazioni?
Mi sa nessuna.
Infatti, che tu ci creda o no, "mediamente" ad un Analista od ad un Geometra poco gliene importa che una funzione sia una particolare relazione... La loro attenzione è rivolta allo studio di altri tipi di proprietà delle funzioni (e.g. continuità, differenziabilità, integrabilità, etc.) che non hanno nulla a che vedere con le relazioni.
"lisdap":
[quote="gugo82"]
No, secondo me non farebbe per te.
Sei troppo fondamentalista, perciò stai bene lì dove sei.
Non sono io che sono fondamentalista, è il sapere scentifico che impone che colui che lo faccia suo lo sia.[/quote]
Sapessi quanti ottimi Matematici hanno ascendenze fisiche e non hanno nemmeno idea di cosa sia un sottogruppo normale...
"lisdap":
[quote="gugo82"]
Fondamentalismo...
Come se io, per apprezzare un sonetto di Shakespeare dovessi prima conoscere la filologia dell'Inglese medioevale... È una follia, non trovi?
Ti posto il programma di analisi di un cdl in scienze biologiche:
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE
-spazi lineari
-operatori lineari e matrici
-soluzione di sistemi lineari
FUNZIONI DI VARIABILE REALE
-concetto di funzione, funzione composta e funzione inversa
-logaritmo ed esponenziale, funzioni goniometriche elementari, funzioni goniometriche inverse
-limiti di funzioni, continuità
-derivata, applicazioni allo studio del grafico di funzioni
-formula di Taylor.
-integrale di funzioni continue, Teorema fondamentale del calcolo integrale
-formula di integrazione per sostituzione e per parti
Ora tu dimmi: sei sicuro che lo studente comprenderà i contenuti del corso senza sapere nemmeno che cos'è un insieme, il minorante, il maggiorante ecc..? Io credo di no.[/quote]
Io credo di sì, se hanno la voglia di studiare, un buon testo davanti ed un bravo docente che faccia loro capire le cose che gli serve davvero capire.
Uno studente di Biologia non ha bisogno di conoscere i teoremi dell'Analisi a menadito (anche se non sarebbe male che li sapesse, eh!), ma ha bisogno di saper ragionare davanti ad un problema...
Il fondamentalismo risiede anche non saper cogliere le differenze tra le varie specializzazioni, nel fare "di tutta l'erba un fascio".
"lisdap":
[quote="gugo82"]
La definizione di maggiorante e minorante si comprende non appena si abbia un po' di familiarità con la relazione d'ordine, che scritta dentro gli assiomi con cui si costruisce \(\mathbb{R}\).
Per avere questa familiarità in grado sufficiente bisogna leggere il libro e fare gli esercizi, non serve andarsi a studiare la Teoria degli Insiemi Ordinati.
Io invece credo di si. Tu parli cosi perchè sei un Matematico e hai studiato tutto per bene dai fondamenti fino agli sviluppi recenti, o almeno credo, dunque non penso abbia mai avuto la sensazione di studiare degli argomenti senza avere le dovute basi.[/quote]
Sbagli.
Ad esempio, mi sono guardato bene dal seguire corsi di Algebra avanzata, o di Teoria degli Insiemi.
Sono temi che non mi hanno mai interessato, perché il più delle volte mi sembra di avere a che fare con oggetti fondamentalmente semplici che vengono complicati ad arte.
Ad esempio, invitato da un mio carissimo collega Algebrista, la settimana scorsa andai a seguire un seminario di Algebra dal titolo Costruzioni Elementari di Gruppi Eccezionali.
Ora, da semplice Analista quale (nel mio piccolissimo) sono, il termine "elementare" ha il significato che si trova sui dizionari di italiano, e.g. "facile da comprendere" (Zingarelli 1999); tuttavia mi sono accorto che le costruzioni cui si accennava durante il seminario erano del tutto non-elementari...
Ad un certo punto, il docente che teneva il seminario, parlando del numero di elementi di un certo gruppo, disse: "Questo gruppo è un po' più grande dei precedenti, però è piccolo rispetto a quelli con cui lavoro di solito", perché lui, mediamente, lavorava con gruppi finiti aventi \(10^{50}\) elementi...
\(10^{50}\) elementi, capisci!?!?
[Inutile dire che, dopo il seminario ho fatto scherzosamente notare al mio amico che un gruppo con \(10^{50}\) elementi non può più chiamarsi "gruppo finito".
]"lisdap":
[quote="gugo82"]Ma non è affatto vero.
Sui libri di Analisi, se sono buoni libri, c'è quasi tutto quello che può servirti in futuro.
Anche qui non sono d'accordo. Prendi il Pagani-Salsa, quello vecchio. Spreca per la teoria sulle relazioni due tre pagine, quando il mio libro di algebra del liceo ne spreca una decina. Ora, mi dici come posso io comprendere tali argomenti studiandoli direttamente dal pagani-salsa? Li posso certamente comprendere, ma se ho un'accurata conoscenza di ciò che c'è a monte e un'infarinatura generale acquisita alle superiori, cosa che invece è mancata.[/quote]
Siamo sempre lì.
Chiediti perché è mancata, quell'infarinatura, seppure sul libro c'era...
"gugo82":
Il sapere, caro lisdap, non si acquisisce studiando per un esame; ma rivedendo periodicamente in maniera critica, alla luce di nuove esperienze, quanto si è studiato in precedenza.
Beh, sono più che d'accordo.
"gugo82":
Non vengono affrontate perché sono nozioni che "mediamente" ad un ingegnere non serve approfondire.
Prova a leggerti un libro di Analisi di cinquant'anni fa, quando Matematici ed Ingegneri studiavano Analisi assieme: nemmeno allora si insisteva su queste formalità algebriche.
Formalità algebriche? Mica tanto...
"gugo82":
No, secondo me non farebbe per te.
Sei troppo fondamentalista, perciò stai bene lì dove sei.
Non sono io che sono fondamentalista, è il sapere scentifico che impone che colui che lo faccia suo lo sia.
"gugo82":
Fondamentalismo...
Come se io, per apprezzare un sonetto di Shakespeare dovessi prima conoscere la filologia dell'Inglese medioevale... È una follia, non trovi?
Ti posto il programma di analisi di un cdl in scienze biologiche:
ELEMENTI DI ALGEBRA LINEARE
-spazi lineari
-operatori lineari e matrici
-soluzione di sistemi lineari
FUNZIONI DI VARIABILE REALE
-concetto di funzione, funzione composta e funzione inversa
-logaritmo ed esponenziale, funzioni goniometriche elementari, funzioni goniometriche inverse
-limiti di funzioni, continuità
-derivata, applicazioni allo studio del grafico di funzioni
-formula di Taylor.
-integrale di funzioni continue, Teorema fondamentale del calcolo integrale
-formula di integrazione per sostituzione e per parti
Ora tu dimmi: sei sicuro che lo studente comprenderà i contenuti del corso senza sapere nemmeno che cos'è un insieme, il minorante, il maggiorante ecc..? Io credo di no.
"gugo82":
La definizione di maggiorante e minorante si comprende non appena si abbia un po' di familiarità con la relazione d'ordine, che scritta dentro gli assiomi con cui si costruisce \(\mathbb{R}\).
Per avere questa familiarità in grado sufficiente bisogna leggere il libro e fare gli esercizi, non serve andarsi a studiare la Teoria degli Insiemi Ordinati.
Io invece credo di si. Tu parli cosi perchè sei un Matematico e hai studiato tutto per bene dai fondamenti fino agli sviluppi recenti, o almeno credo, dunque non penso abbia mai avuto la sensazione di studiare degli argomenti senza avere le dovute basi.
"gugo82":
Ma non è affatto vero.
Sui libri di Analisi, se sono buoni libri, c'è quasi tutto quello che può servirti in futuro.
Anche qui non sono d'accordo. Prendi il Pagani-Salsa, quello vecchio. Spreca per la teoria sulle relazioni due tre pagine, quando il mio libro di algebra del liceo ne spreca una decina. Ora, mi dici come posso io comprendere tali argomenti studiandoli direttamente dal pagani-salsa? Li posso certamente comprendere, ma se ho un'accurata conoscenza di ciò che c'è a monte e un'infarinatura generale acquisita alle superiori, cosa che invece è mancata.
"lisdap":
Se ho capito bene, la matematica dovrebbe essere come un castello di carte: basta che ne togli una e crolla tutto. Ciò mi fa dedurre che per comprendere adeguatamente un argomento, bisogna aver compreso perfettamente gli argomenti a monte di esso.
Non necessariamente.
Ad esempio, per capire cos'è l'unione di due insiemi, non ho bisogno di conoscere la Teoria degli Insiemi (intendo l'assiomatizzazione ZFC, ad esempio): basta un po' d'intuito e studiare da un buon libro.
"lisdap":
Io ho fatto l'esame di Analisi 1 a febbraio di quest'anno, superandolo anche con 25; tuttavia, posso dire con certezza che, quando feci tale esame, di matematica non sapevo quasi nulla.
Ma lo sai che io non ho mai fatto uno scritto di Analisi I e II, perché avevo un insegnante di Analisi della "vecchia scuola"?
E secondo te, quando ho rivisto in maniera critica il mio percorso, non mi sono chiesto perché non conoscevo molte tecniche di risoluzione degli esercizi nonostante un 30?
Il sapere, caro lisdap, non si acquisisce studiando per un esame; ma rivedendo periodicamente in maniera critica, alla luce di nuove esperienze, quanto si è studiato in precedenza.
"lisdap":
Dico questo perchè, iniziando a RIstudiare tutto seriamente, mi sto rendendo conto di quanti concetti preliminari siano alla base dell'Analisi, concetti che non vengono studiati neanche nelle scuole superiori.
Perché, scusa, alle Elementari insegnano a far di conto coi numeri negativi? No, lo si insegna alle Medie.
E non mi risulta che gli studenti delle Medie si siano mai lamentati degli scarsi prerequisiti.
Insomma, ogni nozione ha bisogno di una certa maturità intellettuale per essere interiorizzata.
Qui non voglio sostenere che alle Superiori si faccia Matematica in modo sufficiente (secondo me si potrebbe fare meglio); però non voglio nemmeno dire che non si fa nulla di utile.
"lisdap":
Per esempio, solo ora sto apprezzando la teoria degli insiemi, oppure solo ora ho scoperto che il concetto di funzione è un caso particolare di quello più generale di relazione, e tante altre cose che nei corsi di analisi di ingegneria non vengono affrontate.
Non vengono affrontate perché sono nozioni che "mediamente" ad un ingegnere non serve approfondire.
Prova a leggerti un libro di Analisi di cinquant'anni fa, quando Matematici ed Ingegneri studiavano Analisi assieme: nemmeno allora si insisteva su queste formalità algebriche.
"lisdap":
Ora qualcuno di voi potrà dirmi: "se volevi studiare la matematica per bene ti dovevi iscrivere a matematica"...
No, secondo me non farebbe per te.
Sei troppo fondamentalista, perciò stai bene lì dove sei.
"lisdap":
Beh, io sono dell'idea che la matematica o la si insegna bene, senza dare nulla per scontato, o non serve a nulla insegnarla.
Quindi, indipendentemente dal corso di laurea che uno sta frequentando, se in quel corso di laurea c'è un esame di matematica, analisi per esempio, io penso che sia inammissibile spiegare tali argomenti senza affrontare prima lo studio dell'algebra, dell'insiemistica e di tutto ciò che è alla base dell'analisi, in quanto così facendo si sprecherebbe solo tempo.
Insomma, per un ingegnere la matematica è fondamentale, quindi è giusto che sia fatta studiare bene ed in maniera completa. Non posso studiare il concetto di funzione senza sapere che cos'è una relazione, non posso studiare le definizioni di maggiorante-minorante senza sapere che cos'è un insieme ordinato e cosi via. E vi assicuro che tutte queste cose, almeno nel mio corso di Analisi, non sono state nemmeno accennate.
Fondamentalismo...
Come se io, per apprezzare un sonetto di Shakespeare dovessi prima conoscere la filologia dell'Inglese medioevale... È una follia, non trovi?
La definizione di maggiorante e minorante si comprende non appena si abbia un po' di familiarità con la relazione d'ordine, che scritta dentro gli assiomi con cui si costruisce \(\mathbb{R}\).
Per avere questa familiarità in grado sufficiente bisogna leggere il libro e fare gli esercizi, non serve andarsi a studiare la Teoria degli Insiemi Ordinati.
Anche perché, altrimenti, ti accorgeresti che non hai familiarità con gli oggetti di quella teoria, quindi dovresti andarti a studiare la Teoria degli Insiemi; ma poi ti accorgeresti di non avere familiarità con gli oggetti di quella teoria, quindi dovresti andarti a studiare la Logica; ma poi...
Come vedi, rischieresti inutilmente di allontanarti troppo dall'oggetto del tuo studio, in una discesa infinita di cui non vedresti il termine.
"lisdap":
Per fare una metafora, la situazione nella quale mi sono trovato è analoga a quella di un meccanico che deve imparare ad aggiustare un motore avendo a disposizione solo un cacciavite
Ma non è affatto vero.
Sui libri di Analisi, se sono buoni libri, c'è quasi tutto quello che può servirti in futuro.
Invece di quanto hai esposto, sarebbero state sensate altre domande, altre considerazioni.
Ad esempio:
[*:3nuqoboc]Perché si è scelto di comprimere Analisi I in un solo semestre, mentre prima era insegnata in un corso annuale?[/*:m:3nuqoboc]
[*:3nuqoboc]Siamo sicuri che chi esce dalle superiori abbia i mezzi per comprendere l'Analisi Matematica "strizzata" in un solo semestre?[/*:m:3nuqoboc]
[*:3nuqoboc]Non sarebbe stato necessario rivedere i programmi delle Superiori alla luce della riforma universitaria? (Esistono ancora i programmi delle Superiori?)[/*:m:3nuqoboc]
[*:3nuqoboc]Perché ciò non è stato fatto?[/*:m:3nuqoboc]
[*:3nuqoboc]Cosa posso fare io per cercare di far ragionare chi mi governa su questi aspetti della faccenda?[/*:m:3nuqoboc]
[*:3nuqoboc]Etc...[/*:m:3nuqoboc][/list:u:3nuqoboc]
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo