Astrazione
Come avete fatto a sviluppare l'astrazione?
Una domanda introduttiva(meno importante ma tanto per inquadrare meglio la domanda principale): cos'è l'astrazione?
Una domanda introduttiva(meno importante ma tanto per inquadrare meglio la domanda principale): cos'è l'astrazione?
Risposte
Piccolo post per dimostrare perché $0\cdot a=0 \forall a$ 
Lo 0 è l'elemento neutro della somma, quindi vale $0+a=0$ $\forall a$. Pertanto vale anche $0+0=0$. Allora da $a\cdot 0$ ottengo $a\cdot (0+0)$. Ora basta applicare la proprietà distributiva e semplificare (ossia sommare l'opposto ad ambo i membri) per avere $a\cdot 0=0$.
E per quanto sembri assurdo questa dimostrazione non è ben fatta perché mancano le ipotesi: in che insieme numerico sono? Che proprietà vi sono in questo insieme che possa usare? Se diciamo che siamo nell'insieme reale valgono una serie di proprietà (che poi tutti conoscono: associativa, commutativa, distributiva, esistenza dell'elemento neutro e dell'inverso di ogni elemento) che mi permettono di usare le uguaglianze evidenziate e che mi dimostrano che $0\cdot a=0$ $\forall a$. Il caso più semplice $0\cdot 1=0$ deriva dalla proprietà di 1, ossia che $a=a\cdot 1=1\cdot a \forall a$ e quindi anche per 0.
Lo 0 è l'elemento neutro della somma, quindi vale $0+a=0$ $\forall a$. Pertanto vale anche $0+0=0$. Allora da $a\cdot 0$ ottengo $a\cdot (0+0)$. Ora basta applicare la proprietà distributiva e semplificare (ossia sommare l'opposto ad ambo i membri) per avere $a\cdot 0=0$.
E per quanto sembri assurdo questa dimostrazione non è ben fatta perché mancano le ipotesi: in che insieme numerico sono? Che proprietà vi sono in questo insieme che possa usare? Se diciamo che siamo nell'insieme reale valgono una serie di proprietà (che poi tutti conoscono: associativa, commutativa, distributiva, esistenza dell'elemento neutro e dell'inverso di ogni elemento) che mi permettono di usare le uguaglianze evidenziate e che mi dimostrano che $0\cdot a=0$ $\forall a$. Il caso più semplice $0\cdot 1=0$ deriva dalla proprietà di 1, ossia che $a=a\cdot 1=1\cdot a \forall a$ e quindi anche per 0.
"hee136":
Grazie anche solo di considerarmi!
Dai, non esagerare
Hai chiaramente ragione sul fatto di studiare.
Però è proprio questo il mio punto debole: studio troppo e capisco poco.Purtroppo sono stato abituato a studiare troppo a memoria.
Quindi volevo provare a "fare qualche ragionamento" (spero sia corretto) da solo.
Grazie anche solo di considerarmi!
Però è proprio questo il mio punto debole: studio troppo e capisco poco.Purtroppo sono stato abituato a studiare troppo a memoria.
Quindi volevo provare a "fare qualche ragionamento" (spero sia corretto) da solo.
Grazie anche solo di considerarmi!
"Martino":
Questo che hai scritto è un magnifico esempio di non-astrazione
Come ti dicevo (vedi l'esempio dei temperini) un esempio cosi' non mi convincerebbe mai. Per procedere correttamente dovresti tornare alla tua definizione di numero e da li', tramite passaggi logici inconfutabili, calcolare $0*1$. Questo già potrebbe aiutarti a sviluppare l'astrazione.
Sicuramente è sbagliato, però provo comunque a scrivere cosa è per me un numero.
Sicuramente sarà un ulteriore esempio di non-astrazione. Spero almeno di riuscire a capire dove sbaglio.
Il numero è un concetto che si usa per confrontare le quantità di oggetti concreti o astratti.
Il numero 0 esprime il concetto di assenza, del nulla.
Il numero 1: prendendo un insieme di oggetti, se ognuno è diverso per caratteristiche dagli altri, allora quel determinato insieme conterrà uno ed uno solo oggetto per tipo. Questo numero esprime il concetto di unicità.
Mettendo insieme un oggetto con un altro simile per caratteristiche, si arriverà a due.
So di essere stato, fin troppo non-astratto però è già stato difficile scrivere questo.
Grazie a chiunque risponderà!
"hee136":
-Dimostrare che "0*1 = 0"
Il concetto di moltiplicazione è legato alla ripartizione di oggetti. Per esempio C=a*b , C si può vedere come il numero totale di oggetti che hanno un numero "a" di persone se ognuna ha un numero "b" di oggetti.
Se una persona o allo stesso modo n persone hanno 0 oggetti ciascuna, il totale di oggetti sarà 0.
Questo che hai scritto è un magnifico esempio di non-astrazione
Come ti dicevo (vedi l'esempio dei temperini) un esempio cosi' non mi convincerebbe mai. Per procedere correttamente dovresti tornare alla tua definizione di numero e da li', tramite passaggi logici inconfutabili, calcolare $0*1$. Questo già potrebbe aiutarti a sviluppare l'astrazione.
-Dimostrare che "0*1 = 0"
Il concetto di moltiplicazione è legato alla ripartizione di oggetti. Per esempio C=a*b , C si può vedere come il numero totale di oggetti che hanno un numero "a" di persone se ognuna ha un numero "b" di oggetti.
Se una persona o allo stesso modo n persone hanno 0 oggetti ciascuna, il totale di oggetti sarà 0.
Il concetto di moltiplicazione è legato alla ripartizione di oggetti. Per esempio C=a*b , C si può vedere come il numero totale di oggetti che hanno un numero "a" di persone se ognuna ha un numero "b" di oggetti.
Se una persona o allo stesso modo n persone hanno 0 oggetti ciascuna, il totale di oggetti sarà 0.
"Sergio":
È tipica di qualsiasi essere umano. Magari di qualcuno più che di altri.
Per "sviluppare la capacità di astrazione" conosco un solo metodo: traspirazione. Cioè sudore, fatica.
In parole povere: tanto studio, con tanti esercizi.
Come si sviluppa la resistenza alla fatica? Con duri allenamenti.
Vale lo stesso per le facoltà mentali.
IMHO, of course.
Che tipo di esercizi?
Secondo me l'astrazione è soprattutto pura immaginazione, i matematici rimangono un pò "bambini" perchè hanno la capacità di arrivare in punti lontanissimi con la loro immaginazione e io nella speranza di riuscirci un giorno li ammiro, è bellissimo poter spingere la fantasia e l'immaginazione fino a creare teorie o immaginare equazioni che altrimenti sarebbero soltanto numeri e "segni strani" scritti su pezzi di carta. Io a volte mi sforzo di astrarre i concetti, ed è anche un modo non solo per allenare la mente ma per capire a fondo ciò che studi. secondo me l'astrazione è fondamentale per la matematica.
Imparando a ragionare su cose astratte 
.
L'intera idea dell'astrazione è che ci sono una serie di simboli e una serie di regole che non possono essere infrante. L'obbiettivo è di ottenere da risultati sicuri altri risultati sfruttando queste regole. L'astrazione in matematica, che si riduce spesso a teoremi, dimostrazioni e oggetti particolari che non hanno significato in sé ma lo acquistano nel contesto in cui li metti. Esempio banale: x non significa niente, ma f(x) è una funzione nella variabile x e $x^2+2$ è un polinomio nella stessa variabile, $x\in NN$ significa che x è un numero naturale, x(t) significa addirittura che x è funzione di variabile t.
Non ci sono in realtà veri e propri metodi per sviluppare l'astrazione, che è presente un po' dappertutto. Lo stesso utilizzo dei numeri è un'astrazione, e viene imparato (a volte con qualche fatica
) alle elementari.
.L'intera idea dell'astrazione è che ci sono una serie di simboli e una serie di regole che non possono essere infrante. L'obbiettivo è di ottenere da risultati sicuri altri risultati sfruttando queste regole. L'astrazione in matematica, che si riduce spesso a teoremi, dimostrazioni e oggetti particolari che non hanno significato in sé ma lo acquistano nel contesto in cui li metti. Esempio banale: x non significa niente, ma f(x) è una funzione nella variabile x e $x^2+2$ è un polinomio nella stessa variabile, $x\in NN$ significa che x è un numero naturale, x(t) significa addirittura che x è funzione di variabile t.
Non ci sono in realtà veri e propri metodi per sviluppare l'astrazione, che è presente un po' dappertutto. Lo stesso utilizzo dei numeri è un'astrazione, e viene imparato (a volte con qualche fatica
) alle elementari.
Grazie per le risposte. In pratica l'astrazione si applica "togliendo" alcune caratteristiche inessenziali fino ad arrivare alle caratteristiche essenziali cioè concetto stesso, cioè all'essenza di una particolare cosa. (spero di aver capito bene e di essermi espresso in maniera chiara)
Rimane però ora la domanda (che mi interessava di più): come si fa a sviluppare la capacità di astrazione?
Rimane però ora la domanda (che mi interessava di più): come si fa a sviluppare la capacità di astrazione?
"hee136":
Come avete fatto a sviluppare l'astrazione?
Una domanda introduttiva(meno importante ma tanto per inquadrare meglio la domanda principale): cos'è l'astrazione?
Quando esprimo la mia opinione su questo fatto scateno sempre devastanti polemiche, quindi è meglio che assicuri e giuri davanti al Bourbaki e all'EGA che si tratta unicamente della mia opinione: la matematica è una lingua, e le lingue sono le sole cose che riesco a studiare [riconosco di aver moderato la frase, inizialmente era "la matematica è la sola cosa che ha senso studiare", in effetti abbastanza contestabile persino da me]. Ma per essere pertinenti fino all'ultimo con la domanda posta, purtroppo in me l'astrazione non si è sviluppata ma è in qualche modo innata. Per farti meglio intendere quello che sto dicendo, ma anche giusto per aiutarmi a comprendere meglio il cambiamento e piu' in generale me stesso, ti potrei domandare come hai fatto a sviluppare, tu, la praticità? O piu' in generale tutto cio' che non è astrazione? Io trovo l'astrazione l'unico modo per comprendere le cose. Insomma, se tu per dimostrarmi che due piu' due fa quattro mi metti su un tavolo due temperini (giusto per non usare le già stra-abusate mele...) e poi altri due e mi fai contare quanti ce ne sono in totale, non mi convinci mica. Invece se mi dici che il simbolo 4 è una convenzione per indicare 2+2 o anche 1+3 o anche 3+1 allora si che mi convinci. Mi rendo conto che è un mio limite e devo lavorarci, ma per me quando la realtà con tutte le sue contingenze pretende di essere spiegata, mi viene voglia di farmi una caccia al diagramma senza usare il lemma del serpente. La potente volontà di astrarre l'astraibile ("astraibile" vero? a proposito di lingue
) che in me è inequivocabilmente presente non la vedo troppo come un mio pregio; o meglio vorrei sviluppare anche altre volontà, che mi facciano toccare la realtà piu' con mano. Per citare Sergio, vorrei a volte smettere di camminare a naso in su e beccare innumerevoli buche Quanto a cosa sia l'astrazione, immagino sia la tendenza a dare ad una cosa delle proprietà peculiari e caratterizzanti che sappiano distinguerla da tutte le altre. Credo che sia un po' la capacità di saper pensare alle cose in un modo tale che la memoria non c'entri.
"hee136":
Come avete fatto a sviluppare l'astrazione?
Una domanda introduttiva(meno importante ma tanto per inquadrare meglio la domanda principale): cos'è l'astrazione?
Cooosa?
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