Assunzioni su continuità e derivabilità in fisica

[DavideGenova1]

Vorrei chiedere quali assunzioni si facciano di norma sulla continuità e derivabilità delle grandezze e sulla regolarità delle curve utilizzate in fisica.

Per esempio, trovo scritto che

"W.E. Gettys et al. in Fisica 1":3k23adcb:\(\Delta\mathbf{v}\) [che è la differenza tra velocità finale ed iniziale \(\mathbf{v}_f-\mathbf{v}_i\)] è decomposta in due vettori: \(\Delta\mathbf{v}_\parallel\) e \(\Delta\mathbf{v}_\perp\) che sono rispettivamente parallelo e perpendicolare a \(\mathbf{v}_i\). [...] Se il modulo della velocità di un corpo è costante (\(v_f=v_i\)), \(\Delta\mathbf{v}_\parallel =0\), e \(\mathbf{a}\) [l'accelerazione nell'istante $i$] non ha una componente parallela a \(\mathbf{v}\) [lo stesso di \(\mathbf{v}_i\)]. Se il modulo della velocità di un corpo diminuisce (\(v_f
Queste cose mi tornano, almeno intendendo non positiva per negativa, sotto opportune condizioni di regolarità e differenziabilità della traiettoria (infatti, per una curva \(\mathbf{r}\) regolare, cioè di classe $C^2$ e tale che \(\mathbf{r}'(t)\ne \mathbf{0}\) per ogni $t$ del dominio, direi che valga \(\mathbf{r}''(t)=v'(t)\mathbf{T}(t)+k(t)v(t)^2\mathbf{N}(t)\) dove uso la notazione piuttosto standard per velocità, versore tangente, curvatura e versore normale).

Quali assunzioni siano fatte in generale in fisica?
Chiedo qui perché, nonostante la mia domanda riguardi essenzialmente la fisica e l'analisi matematica, non mi sembra sufficientemente specifica da essere postata nei forum relativi, scusandomi con i moderatori se avessi sbagliato.
Ciao e $\infty$ grazie a tutti!

[DavideGenova1]

Grazie anche a te, Fioravante: fa piacere vederti da queste parti!

[Fioravante Patrone1]

"DavideGenova":Vorrei chiedere quali assunzioni si facciano di norma sulla continuità e derivabilità delle grandezze e sulla regolarità delle curve utilizzate in fisica.
...

Stiamo parlando di bazzecole come degli esercizietti, o come manuali scritti con poca pretesa di stimolare lo spirito critico dell'allievo, o parliamo di cose serie?

Un modello matematico tipicamente fa delle assunzioni di regolarità "a priori" sulle funzioni che utilizza (se utilizza funzioni che in qualche modo abbiano a che fare con il "continuo").
Se suppongo che la legge oraria di una palla da biliardo sia smooth, potrei andare incontro a qualche delusione, se questa va a sbattere contro qualche sponda o un'altra palla.

A questo punto le strade diventano:
- mi accontento di traiettorie "smooth a tratti", integrando con adhoccherie la trattazione degli urti
- vado a vedere col microscopio temporale, studio le caratteristiche dei materiali usati, cerco di derivarne le deformazioni, alla fin fine ho qualcosa di trattabile, e direi ancora smooth, col quale lavorare
Da un punto di vista utilitaristico, magari la prima è meglio. Ma pure un utilitarista immagino spero sia più confortato dal sapere che le cosine sugli urti sono "thumb rules" di una qualche teoria coerente (e coerente col resto della fisica). Un po' come chi usa il metodo urang-utang (forse...) lo fa con maggior levità d'animo, sapendo che le cose si possono fare a modino.

Tutto quello che si è fatto con le disequazioni variazionali, dall'articolo di Stampacchia del '64, sarebbe stato un po' difficile farlo pretendendo di lavorare in ambito soave (così L.A. Caffarelli chiamava le funzioni smooth).

Io ho sempre sostenuto il punto di vista che le assunzioni a priori meno forti sono meglio è.

E questo vale anche fuori dalla fisica: il modello di contrattazione di Nash, molto carino matematicamente, parte da varie assunzioni "a priori": una è di convessità, che rende (mooolto) difficile trattare la contrattazione in presenza di indivisibilità, un'altra non da poco è la postulazione che la soluzione di un problema di contrattazione debba essere unica.


Questa sopra è la "filosofia" del principiante, massimo cui riesco a giungere, ma che mi ha lasciato normalmente in pace con la mia coscienza. Immagino che altri, meno principianti di me, magari abbiano da ridire.

[DavideGenova1]

Grazie a tutti, ragazzi!

[Luca.Lussardi]

la parolaa magica e' "let f be smooth", che significa che la funzione f e' regolare abbastanza per fare i conti che seguono.

[Epimenide93]

No, aspetta, ero (neanche troppo) ironico.

Diciamo che i fisici amano supporre che le funzioni con cui hai a che fare abbiano tutte le regolarità che ti servono per applicare un teorema, se vuoi applicarlo. Nessuno specifica mai con troppa precisione il grado di regolarità delle funzioni, ma (per dire), se vuoi che sia \(C^2\), allora "facciamo che è \(C^2\)". Il che spesso si riduce, come dicevo, ad un "tutte le funzioni sono analitiche". Per essere più realistici, diciamo che la premessa è "tutte le funzioni sono lisce, se non viene specificato diversamente".

[DavideGenova1]

Perfetto. $\infty$ grazie!

[Epimenide93]

"DavideGenova":
Quali assunzioni siano fatte in generale in fisica?

Tutte le funzioni sono analitiche