Aritmetizzazione
Non so se è questa la sezione giusta per l'argomento che pongo: l'aritmetizzazione secondo Goedel.
Invero non mi è tanto chiara, se ho ben capito Goedel tracciò una corrispondenza tra simboli e numeri. In tal modo poteva tradurre un'espressione in una serie di numeri. Questo comporterebbe che alla fine una espressione diventa un numero. Un esempio che ho trovato è: 2^8 x 3^4 x 5^11 x 7^9 x 11^8 x 13^11 x 17^5 x 19^7 x 23^13 x 29^9, che starebbe a significare l'espressione del tipo:esiste un elemento x tale che x=S(0) ottenuto creando una tabella dove ogni esponente corrisponde a un simbolo e le basi di quelle potenze sono numeri primi in sequenza naturale.
Se è così, quel numero potrebbe derivare da una qualsiasi sequenza allora si perderebbe il signidicato originale dell'espressione di partenza. O non è così?
Invero non mi è tanto chiara, se ho ben capito Goedel tracciò una corrispondenza tra simboli e numeri. In tal modo poteva tradurre un'espressione in una serie di numeri. Questo comporterebbe che alla fine una espressione diventa un numero. Un esempio che ho trovato è: 2^8 x 3^4 x 5^11 x 7^9 x 11^8 x 13^11 x 17^5 x 19^7 x 23^13 x 29^9, che starebbe a significare l'espressione del tipo:esiste un elemento x tale che x=S(0) ottenuto creando una tabella dove ogni esponente corrisponde a un simbolo e le basi di quelle potenze sono numeri primi in sequenza naturale.
Se è così, quel numero potrebbe derivare da una qualsiasi sequenza allora si perderebbe il signidicato originale dell'espressione di partenza. O non è così?
Risposte
Prova a vedere questo video :
Come ha detto Gio73 l'artmetizzazione non basta , forse è più uno "sfizio intellettuale di tipo logico";
come per il paradosso del barbiere o quello del bibliotecario ci vuole un approccio e , dunque una soluzione , di tipo insiemistico .
Come ha detto Gio73 l'artmetizzazione non basta , forse è più uno "sfizio intellettuale di tipo logico";
come per il paradosso del barbiere o quello del bibliotecario ci vuole un approccio e , dunque una soluzione , di tipo insiemistico .
Ciao Gengo,
sono molto ignorante in materia, ma la questione è interessante. Provo a dire la mia.
Temo di no. Ho tirato fuori il mio vecchio libro del liceo (Castelnuovo, Gori Giorgi, Valenti "la matematica nella realtà", La nuova Italia, 1986) che spiega come è possibile costruire una corrispondenza biunivoca tra numeri particolari* e "frasi". Con questo giochino però si può cadere in situazioni di indeterminazione.
* si tratta dei numeri di Goedel: se li scomponiamo in fattori primi vediamo che possiamo disporre le basi (numeri naturali) in ordine crescente e i rispettivi esponenti (numeri naturali) vengono fatti corrispondere ad altri simboli come
simbolo: $A$, $in$, $360$, $2$, $<$ ...
numero: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ...
così ogni numero può rappresentare una frase come
$360<2$
si traduce con $2^3*3^5*5^4=8*81*625=40500$
infatti gli esponenti in ordine sono: 3, 5, 4 che corrispondono a 360, <, 2
sono molto ignorante in materia, ma la questione è interessante. Provo a dire la mia.
"gengo":
Si può allora dire che aritmetizzando si eliminano i paradossi?
Temo di no. Ho tirato fuori il mio vecchio libro del liceo (Castelnuovo, Gori Giorgi, Valenti "la matematica nella realtà", La nuova Italia, 1986) che spiega come è possibile costruire una corrispondenza biunivoca tra numeri particolari* e "frasi". Con questo giochino però si può cadere in situazioni di indeterminazione.
* si tratta dei numeri di Goedel: se li scomponiamo in fattori primi vediamo che possiamo disporre le basi (numeri naturali) in ordine crescente e i rispettivi esponenti (numeri naturali) vengono fatti corrispondere ad altri simboli come
simbolo: $A$, $in$, $360$, $2$, $<$ ...
numero: $1$, $2$, $3$, $4$, $5$ ...
così ogni numero può rappresentare una frase come
$360<2$
si traduce con $2^3*3^5*5^4=8*81*625=40500$
infatti gli esponenti in ordine sono: 3, 5, 4 che corrispondono a 360, <, 2
Non so risponderti in merito...
Ringrazio per il riscontro. Si può allora dire che aritmetizzando si eliminano i paradossi? per esempio la famosa frase del mentitore se aritmetizzata non cadrebbe più in una indeterminazione?
Credo che non si perda il significato originale , altrimenti qualche matematico avrebbe già opinato in tale direzione.
Occorre , tuttavia , fare una distinzione tra l'aritmizzazione della sintassi e l'aritmetizzazione della matematica ;
L'aritmetizzazione della sintassi (o gödelizzazione, appunto ) è procedimento che pone in relazione biunivoca gli oggetti di una teoria formale con dei numeri naturali per poi studiare le relazioni e le proprietà di questi ultimi, così da ottenere informazioni circa la sintassi della teoria formale considerata;
L'aritmetizzazione della matematica è la fondazione dell'analisi su una teoria dei numeri reali .
In detta teoria la non contraddittorietà dei numeri reali viene ricondotta alla non contraddittorietà dell'aritmetica (numeri naturali); la coerenza dell'aritmetica diviene con ciò il fondamento della coerenza di tutta la matematica.
Però aspetta le risposte da utenti più esperti ,
Occorre , tuttavia , fare una distinzione tra l'aritmizzazione della sintassi e l'aritmetizzazione della matematica ;
L'aritmetizzazione della sintassi (o gödelizzazione, appunto ) è procedimento che pone in relazione biunivoca gli oggetti di una teoria formale con dei numeri naturali per poi studiare le relazioni e le proprietà di questi ultimi, così da ottenere informazioni circa la sintassi della teoria formale considerata;
L'aritmetizzazione della matematica è la fondazione dell'analisi su una teoria dei numeri reali .
In detta teoria la non contraddittorietà dei numeri reali viene ricondotta alla non contraddittorietà dell'aritmetica (numeri naturali); la coerenza dell'aritmetica diviene con ciò il fondamento della coerenza di tutta la matematica.
Però aspetta le risposte da utenti più esperti ,
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