Applicazioni del triangolo di tartaglia
credo di aver trovato un'altra applicazione (che penso esista già) del triangolo di tartaglia, che un utente di questo forum forse ha già illustrato(ma purtroppo non trovo il topic) .... ora ho due domande:
qualcuno potrebbe per favore segnalarmi il topic dove si ''spiegano'' altre applicazioni del triangolo di tartaglia?
i coefficenti numerici del triangolo di tartaglia possono avere una relazione con le sommatorie di n^k termini?
p.s. chiedo scusa per l'italiano
qualcuno potrebbe per favore segnalarmi il topic dove si ''spiegano'' altre applicazioni del triangolo di tartaglia?
i coefficenti numerici del triangolo di tartaglia possono avere una relazione con le sommatorie di n^k termini?
p.s. chiedo scusa per l'italiano
Risposte
se mi dici come contattarti, te la mando via e-mail. Non è sul web.
io vorrei la dimostrazione più complessa e completa
Per capire la formula occorre un breve ragionamento.
Parte prima. Partiamo dalla sequenza degli interi (1,2,3,4 ...) che definiamo A, e diciamo che (a,x) è l'x-esimo suo termine. Da questa otteniamo la sequenza (1,3,6,10 ...) che definiamo B, e diciamo che (b,x) è il suo x-esimo termine. Da B otteniamo la sequenza (1,4,10,20 ....) che definiamo C, e dichiamo che (c,x) è il suo x-esimo termine. Ecc, per quante successione si vuole. Queste sequenze si trovano anche nel triangolo di Tartaglia, nella sua costruzione usuale, leggendone i numeri diagonalmente.
Parte seconda. Se una qualsiasi successione, di interi o non interi, ha una differenza finita, "Delta" K, tutti i suoi termini sono uguali al primo. Dunque, per costruzione delle differenze, qualsiasi termine della differenza precedente "Delta" k-1, sarà uguale alla somma del suo primo termine, più tutti i termini di "Delta" k fino al termine dato. Definendo con (k-1)x l'x-esimo termine di "Delta" k-1, con (k-1)1 il suo primo termine, e con (k)1 il primo della "Delta" k, poichè "Delta" k è costante, otteniamo:
(k-1)x = (k-1)1 + [(k)1 * (a,x-1)]
dove (a,x-1) è l'x-1 esimo termine di A
A questo punto è facile dimostrare che se esiste una differenza "Delta" k-2, avremo:
(k-2)x = (k-2)1 + [(k-1)1 * (a,x-1)] + [(k)1 * (b,x-2)]
dove (a,x-1) è l'x-1 esimo termine di A, e (b,x-2) è l'x-2 esimo termine di B.
Ed ancora:
(k-3)x = (k-3)1 + [(k-2)1 * (a,x-1)] + [(k-1)1 * (b,x-2)] + [(k)1 * (c,x-3)]
dove (a,x-1) è l'x-1 esimo termine di A, (b,x-2) è il x-2 esimo termine di B, e (c,x-3) è l'x-3 esimo termine di C.
Ovviamente la formula può proseguire all'infinito, sommando il prodotto di altri termini delle sequenze successive a C per i primi termini delle differenze precedenti "Delta" k-3.
Da questo punto è semplice ottenere la sommatoria di tutti i termini consecutivi di qualsiasi successione abbia una differenza finita. Infatti, basta costruire un'altra successione "precedente" quella delle potenze, ponendo 1 (per semplicità) come primo termine. Ad esempio, partendo dai quadrati, si ottiene la sequenza 1,2,6,15,31 .... Ma non è necessario costruire la successione. Basta solo "immaginare" che esista.
Poichè i quadrati degli interi hanno una differenza costante di secondo ordine, e 3 è il primo termine della differenza di primo ordine, e 2 è il primo termine della differenza di secondo ordine, per ottenere la somma dei primi 101 quadrati, per esempio, basta calcolare il valore del 102 esimo termine di della successione 1,2,6,15,31 ... che chiameremo W. Quindi
(W)102 = 1 + [1 * 101) + [3 * (b,100)] + [2 * (c,99)]
Poichè vi sono formule già pronte per ottenere i valori di ciascun termine delle colonne B,C,D partendo dalla colonna A, è semplice ottenere che:
(W)102= 1 + 101 + (3 * 5050) + (2 * 166650) = 1 + 101 + 15150 + 333300 = 348552
Ora basta togliere quell'1 che avevamo aggiunto, ed otteniamo, infatti 348551 che è la somma dei primi 101 quadrati.
Ovviamente lo stesso procedimento può essere utilizzato per qualsiasi somma di termini consecutivi di potenze (perché le potenze hanno una differenza finita) o di qualsiasi sequenza di interi o non interi che abbia una differenza finita, a partire dal primo.
Basta solo conoscere i primi termini di ciascuna differenza.
La stessa formula può essere usata per conoscere la somma di termini consecutivi di potenze a partire da qualsiasi termine ed a finire con qualsiasi termine. In questo caso, è sufficiente costruire una tavola delle differenze che inizi dal primo termine della sommatoria, per ricavare i primi termini delle differenze, ed utilizzare, per calcolare i termini delle sequenze A, B, C ... la differenza tra il termine massimo e quello minimo.
Questo è quanto.
Ho una dimostrazione più completa ed estesa, a disposizione di chi me ne faccia richiesta.
PS
Ne avevo già accennato nel forum sulla formula per potenze senza coefficienti binomiali, con un altro username.
Ma avevo perso la password e mi sono re-iscritto con questo user.
Parte prima. Partiamo dalla sequenza degli interi (1,2,3,4 ...) che definiamo A, e diciamo che (a,x) è l'x-esimo suo termine. Da questa otteniamo la sequenza (1,3,6,10 ...) che definiamo B, e diciamo che (b,x) è il suo x-esimo termine. Da B otteniamo la sequenza (1,4,10,20 ....) che definiamo C, e dichiamo che (c,x) è il suo x-esimo termine. Ecc, per quante successione si vuole. Queste sequenze si trovano anche nel triangolo di Tartaglia, nella sua costruzione usuale, leggendone i numeri diagonalmente.
Parte seconda. Se una qualsiasi successione, di interi o non interi, ha una differenza finita, "Delta" K, tutti i suoi termini sono uguali al primo. Dunque, per costruzione delle differenze, qualsiasi termine della differenza precedente "Delta" k-1, sarà uguale alla somma del suo primo termine, più tutti i termini di "Delta" k fino al termine dato. Definendo con (k-1)x l'x-esimo termine di "Delta" k-1, con (k-1)1 il suo primo termine, e con (k)1 il primo della "Delta" k, poichè "Delta" k è costante, otteniamo:
(k-1)x = (k-1)1 + [(k)1 * (a,x-1)]
dove (a,x-1) è l'x-1 esimo termine di A
A questo punto è facile dimostrare che se esiste una differenza "Delta" k-2, avremo:
(k-2)x = (k-2)1 + [(k-1)1 * (a,x-1)] + [(k)1 * (b,x-2)]
dove (a,x-1) è l'x-1 esimo termine di A, e (b,x-2) è l'x-2 esimo termine di B.
Ed ancora:
(k-3)x = (k-3)1 + [(k-2)1 * (a,x-1)] + [(k-1)1 * (b,x-2)] + [(k)1 * (c,x-3)]
dove (a,x-1) è l'x-1 esimo termine di A, (b,x-2) è il x-2 esimo termine di B, e (c,x-3) è l'x-3 esimo termine di C.
Ovviamente la formula può proseguire all'infinito, sommando il prodotto di altri termini delle sequenze successive a C per i primi termini delle differenze precedenti "Delta" k-3.
Da questo punto è semplice ottenere la sommatoria di tutti i termini consecutivi di qualsiasi successione abbia una differenza finita. Infatti, basta costruire un'altra successione "precedente" quella delle potenze, ponendo 1 (per semplicità) come primo termine. Ad esempio, partendo dai quadrati, si ottiene la sequenza 1,2,6,15,31 .... Ma non è necessario costruire la successione. Basta solo "immaginare" che esista.
Poichè i quadrati degli interi hanno una differenza costante di secondo ordine, e 3 è il primo termine della differenza di primo ordine, e 2 è il primo termine della differenza di secondo ordine, per ottenere la somma dei primi 101 quadrati, per esempio, basta calcolare il valore del 102 esimo termine di della successione 1,2,6,15,31 ... che chiameremo W. Quindi
(W)102 = 1 + [1 * 101) + [3 * (b,100)] + [2 * (c,99)]
Poichè vi sono formule già pronte per ottenere i valori di ciascun termine delle colonne B,C,D partendo dalla colonna A, è semplice ottenere che:
(W)102= 1 + 101 + (3 * 5050) + (2 * 166650) = 1 + 101 + 15150 + 333300 = 348552
Ora basta togliere quell'1 che avevamo aggiunto, ed otteniamo, infatti 348551 che è la somma dei primi 101 quadrati.
Ovviamente lo stesso procedimento può essere utilizzato per qualsiasi somma di termini consecutivi di potenze (perché le potenze hanno una differenza finita) o di qualsiasi sequenza di interi o non interi che abbia una differenza finita, a partire dal primo.
Basta solo conoscere i primi termini di ciascuna differenza.
La stessa formula può essere usata per conoscere la somma di termini consecutivi di potenze a partire da qualsiasi termine ed a finire con qualsiasi termine. In questo caso, è sufficiente costruire una tavola delle differenze che inizi dal primo termine della sommatoria, per ricavare i primi termini delle differenze, ed utilizzare, per calcolare i termini delle sequenze A, B, C ... la differenza tra il termine massimo e quello minimo.
Questo è quanto.
Ho una dimostrazione più completa ed estesa, a disposizione di chi me ne faccia richiesta.
PS
Ne avevo già accennato nel forum sulla formula per potenze senza coefficienti binomiali, con un altro username.
Ma avevo perso la password e mi sono re-iscritto con questo user.
"thelawyer":
Vai al sito
http://binomial.csuhayward.edu/index.html
Trovi quasi tutto sul triangolo di Tartaglia (o triangolo di Pascal). E sottolineo "quasi".
Non so come sia la tua formula, ma io ho sviluppato una formula che permette di avere in modo semplice e veloce
la sommatoria di n termini di qualsiasi successione (quindi anche dei quadrati), a condizione che abbia una differenza finita. E guarda caso usa termini del triangolo di Tartaglia, ma non nella costruzione cui tutti siamo abituati.
Se a qualcuno interessa, posso illustrarla anche in questo forum.
Ciao
qual'è la variante della costruzione che utilizzi?
Vai al sito
http://binomial.csuhayward.edu/index.html
Trovi quasi tutto sul triangolo di Tartaglia (o triangolo di Pascal). E sottolineo "quasi".
Non so come sia la tua formula, ma io ho sviluppato una formula che permette di avere in modo semplice e veloce
la sommatoria di n termini di qualsiasi successione (quindi anche dei quadrati), a condizione che abbia una differenza finita. E guarda caso usa termini del triangolo di Tartaglia, ma non nella costruzione cui tutti siamo abituati.
Se a qualcuno interessa, posso illustrarla anche in questo forum.
Ciao
http://binomial.csuhayward.edu/index.html
Trovi quasi tutto sul triangolo di Tartaglia (o triangolo di Pascal). E sottolineo "quasi".
Non so come sia la tua formula, ma io ho sviluppato una formula che permette di avere in modo semplice e veloce
la sommatoria di n termini di qualsiasi successione (quindi anche dei quadrati), a condizione che abbia una differenza finita. E guarda caso usa termini del triangolo di Tartaglia, ma non nella costruzione cui tutti siamo abituati.
Se a qualcuno interessa, posso illustrarla anche in questo forum.
Ciao
UP
ho ''visto'' praticamente che lo sviluppo delle equazioni risolventi delle somme di n^k termini è molto simile al triangolo di tartaglia con opportuni accorgimenti. questa è un'applicazione già nota? ci possono essere altre applicazioni del triangolo di tartaglia?
ho ''visto'' praticamente che lo sviluppo delle equazioni risolventi delle somme di n^k termini è molto simile al triangolo di tartaglia con opportuni accorgimenti. questa è un'applicazione già nota? ci possono essere altre applicazioni del triangolo di tartaglia?
somma di n^k termini, ad esempio la somma dei quadrati dei primi 10 numeri naturali positivi
Che intendi per sommatorie di n^k termini?
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