Analisi non standard

[LoreT314]

Ciao a tutti, ho iniziato a leggere qualche cosetta sull'analisi non standard (poca roba) e mi chiedevo come mai non ha mai preso piede? In tutti i corsi di analisi 1 si insegna quella di weierstrass e compagnia bella... quella non standard ha qualche grosso difetto da qualche parte?

[LoreT314]

Grazie a tutti

[vict85]

Si, dovrebbe essere vero. E ho scoperto che esistono anche alternative di teorie degli infinitesimi. Comunque le differenze non sono poi così tante una volta che superi i concetti di analisi matematica 1.

[Raptorista1]

Il fatto che nessuno lo abbia ancora menzionato mi fa sorgere il dubbio di ricordare male, ma non c'era anche un teorema che dice che ogni teorema dimostrabile con l'analisi standard è dimostrabile con l'analisi non-standard, e viceversa?

[gabriella127]

"vict85":
I vantaggi infatti sono specialmente iniziali e i problemi non sono eliminati, sono solo spostati ad un altro livello di approfondimento. Insomma lavorare con infinitesimi e infiniti non è banale. Inoltre, quando si cominciano ad usare le teorie topologiche, i concetti di limiti e convergenza vengono inglobati nelle teorie topologiche.

In effetti l'analisi non standard, per quello che ne so, è stata usata dal punto di vista didattico con i principianti, studenti liceali o inizio università. Sono stati scritti libri in cui è stata 'liberata' dalle nozioni logiche che la rendevano ostica, e in cui vengono introdotti i concetti dell'analisi usando gli infinitesimi: l'approccio con gli infinitesimi è considerato più intuitivo ripetto alla analisi $epsilon-delta$ di Weierstrass, i concetti di derivata e di integrale più facili da comprendere per gli studenti. (Fermo restando che viene in parallelo insegnata anche l'analisi $epsilon-delta$).
E probabilmente è un buon modo di insegnare nozioni di analisi a persone con scarse competenze matematiche, che ne hanno bisogno comunque per il loro studio, ma non necessitano di una conoscenza approfondita, penso ad esempio a persone di altri settori, tipo psicologi o umanisti.

Ho notato inoltre che il rilancio degli infinitesimi gode di un certo successo presso alcuni studiosi nell'ambito della storia della matematica, che contestano il predominio assoluto dell'analisi à la Weiestrass dopo la metà dell'ottocento, e ritengono che implicitamente alcuni matematici dell'ottocento, come Cauchy, lavorassero non nel continuum archimedeo (quello dei numeri reali, per intenderci), ma nel continuum bernoulliano (così lo chiamano), quello degli iperreali (i reali più gli infinitesimi). Boh?

[vict85]

Sicuramente il fatto che sia relativamente nuova e che, specialmente all'inizio, si basava su una teoria logica poco conosciuta e abbastanza complessa ha fatto si che non venisse spiegata nei corsi base. Considera che tutti i professori e gli attuali ricercatori di analisi hanno studiato l'analisi standard e che quindi la trovano più naturale e facile da insegnare. Il fatto è che è nuova e non ha abbastanza vantaggi da controbilanciare il dover "cambiare mentalità".

I vantaggi infatti sono specialmente iniziali e i problemi non sono eliminati, sono solo spostati ad un altro livello di approfondimento. Insomma lavorare con infinitesimi e infiniti non è banale. Inoltre, quando si cominciano ad usare le teorie topologiche, i concetti di limiti e convergenza vengono inglobati nelle teorie topologiche. A ben vedere, i modelli stessi usati nell'analisi non standard, sono basati sui concetti di ultrafiltri e reti che assumono una certa importanza nello studio della convergenza degli spazi topologici. E comunque, quanti ambiti di ricerca in analisi sono davvero influenzati dalla scelta standard vs. non standard? Secondo me ben pochi. Ma non sono del settore, è solo una impressione.

Tieni conto che la stessa fine l'hanno fatto altri concetti dell'analisi, come per esempio l'Integrale di Henstock-Kurzweil che generalizza l'integrale di Riemann e che ha persino più funzioni integrabili di quello di Lebesgue. Il punto però è che la teoria della misura ha molti più vantaggi dell'eliminazione di qualche caso patologico.

[axpgn]

Nel forum ci sono discussioni in merito, prova a cercare (anche se non mi pare di averne vista qualcuna approfondita).
Butto lì i miei "due cents": prima di tutto è (relativamente) recente (quanto meno una sua formalizzazione), secondariamente anche se "apparentemente" più semplice da apprendere (a me pare di sì, quanto meno i concetti di base), alla lunga diventa più "dispendiosa", meno efficiente; tieni conto che andrebbero rivisti e riscritti una quantità "enorme" di teoremi e proprietà senza un vero vantaggio reale ... IMHO

Comunque penso che molti Analisti interverranno

Cordialmente, Alex