Alcune considerazioni di geometria..
Salve a tutti,
questo è il mio primo post. Scrivo qui sotto qualche considerazione grossolana che mi capitò di fare su alcuni elementi geometrici. Purtroppo le mie conoscenze matematiche sono scarse e limitate a un'istruzione liceale. Perdonatemi quindi l'imprecisione dei termini. Mi piacerebbe sapere quali autori hanno trattato questi argomenti e in che modo. Vi invito a commentare le mie considerazioni e a darmi ogni tipo di suggerimento.
Potremmo pensare una retta come una circonferenza di raggio infinito. Allo stesso modo, il punto può essere considerato come una circonferenza di raggio 0. Così come il quadrato è un particolare tipo di rettangolo, la retta e il punto dovrebbero essere particolari tipi di circonferenze. Ma la circonferenza stessa non è altro che un particolare tipo di ellisse. E le ellissi, a loro volta, appartengono alla famiglia delle coniche. Niente di strano, se pensiamo che sia la retta sia il punto possono essere derivate da una sezione di cono. Questa considerazione non mi era mai stata fatta al liceo, ma suppongo semplicemente perché non considerata rilevante ai fini scolastici. Questo dovrebbe comportare che operazioni quali rotazioni, simmetrie ortogonali, traslazioni, isometrie, possono essere considerate operazioni particolari, appartenenti a un gruppo più ampio di operazioni geometriche dove, per esempio nel caso della simmetria, al posto della retta rispetto alla quale si ha la simmetria troviamo una circonferenza con raggio finito.
Ancora qualche considerazione sul piano. Procedendo in questo modo, potrei pensare il piano geometrico come la superficie esterna (ma anche interna, perché no) di una sfera di raggio infinito.
Ho pensato che due rette parallele, concepite come circonferenze infinite, dovrebbero incontrarsi in due punti, che potrei chiamare arbitrariamente +infinito e -infinito. Questo vale per ogni insieme di rette parallele. Quindi dovrebbe esistere un'infinita serie di punti in cui le rette parallele si incontrano. Potremmo immaginarci una sorta di circonferenza limite, di raggio infinito, costituita da i punti di incidenza di tutte le rette parallele. Perché non pensare che tutti questi infiniti siano in realtà lo stesso luogo geometrico? Questo comporterebbe pensare il piano, appunto, come una sfera di raggio infinito. La cosa curiosa è che lo stesso procedimento dovrebbe essere applicabile anche in dimensioni superiori a quella bidimensionale, e che quindi potremmo immaginare lo spazio a tre dimensioni come una ipersfera quadridimensionale di raggio infinito. Purtroppo non riesco a immaginare una ipersfera, pazienza...
L'ultima cosa che mi viene in mente è a proposito delle geometrie non euclidee. Negando il V postulato di Euclide, possiamo definire una geometria iperbolica e una ellittica. Mi pare che il quinto postulato sia strettamente legato al "comportamento" dell'infinito, se mi concedete un'espressione estremamente scorretta: nella mia descrizione, è come se il centro di curvatura della sfera di raggio infinito che individua il piano non fosse più uno soltanto (nell'iperbolica) oppure se il raggio della sfera fosse "inferiore" all'infinito (ellittica). Sarebbe quindi un'ellissoide, non una sfera, ma non credo che ci sarebbero molte differenze. Potrebbe essere un modo per dare una nuova definizione del V postulato?
questo è il mio primo post. Scrivo qui sotto qualche considerazione grossolana che mi capitò di fare su alcuni elementi geometrici. Purtroppo le mie conoscenze matematiche sono scarse e limitate a un'istruzione liceale. Perdonatemi quindi l'imprecisione dei termini. Mi piacerebbe sapere quali autori hanno trattato questi argomenti e in che modo. Vi invito a commentare le mie considerazioni e a darmi ogni tipo di suggerimento.
Potremmo pensare una retta come una circonferenza di raggio infinito. Allo stesso modo, il punto può essere considerato come una circonferenza di raggio 0. Così come il quadrato è un particolare tipo di rettangolo, la retta e il punto dovrebbero essere particolari tipi di circonferenze. Ma la circonferenza stessa non è altro che un particolare tipo di ellisse. E le ellissi, a loro volta, appartengono alla famiglia delle coniche. Niente di strano, se pensiamo che sia la retta sia il punto possono essere derivate da una sezione di cono. Questa considerazione non mi era mai stata fatta al liceo, ma suppongo semplicemente perché non considerata rilevante ai fini scolastici. Questo dovrebbe comportare che operazioni quali rotazioni, simmetrie ortogonali, traslazioni, isometrie, possono essere considerate operazioni particolari, appartenenti a un gruppo più ampio di operazioni geometriche dove, per esempio nel caso della simmetria, al posto della retta rispetto alla quale si ha la simmetria troviamo una circonferenza con raggio finito.
Ancora qualche considerazione sul piano. Procedendo in questo modo, potrei pensare il piano geometrico come la superficie esterna (ma anche interna, perché no) di una sfera di raggio infinito.
Ho pensato che due rette parallele, concepite come circonferenze infinite, dovrebbero incontrarsi in due punti, che potrei chiamare arbitrariamente +infinito e -infinito. Questo vale per ogni insieme di rette parallele. Quindi dovrebbe esistere un'infinita serie di punti in cui le rette parallele si incontrano. Potremmo immaginarci una sorta di circonferenza limite, di raggio infinito, costituita da i punti di incidenza di tutte le rette parallele. Perché non pensare che tutti questi infiniti siano in realtà lo stesso luogo geometrico? Questo comporterebbe pensare il piano, appunto, come una sfera di raggio infinito. La cosa curiosa è che lo stesso procedimento dovrebbe essere applicabile anche in dimensioni superiori a quella bidimensionale, e che quindi potremmo immaginare lo spazio a tre dimensioni come una ipersfera quadridimensionale di raggio infinito. Purtroppo non riesco a immaginare una ipersfera, pazienza...
L'ultima cosa che mi viene in mente è a proposito delle geometrie non euclidee. Negando il V postulato di Euclide, possiamo definire una geometria iperbolica e una ellittica. Mi pare che il quinto postulato sia strettamente legato al "comportamento" dell'infinito, se mi concedete un'espressione estremamente scorretta: nella mia descrizione, è come se il centro di curvatura della sfera di raggio infinito che individua il piano non fosse più uno soltanto (nell'iperbolica) oppure se il raggio della sfera fosse "inferiore" all'infinito (ellittica). Sarebbe quindi un'ellissoide, non una sfera, ma non credo che ci sarebbero molte differenze. Potrebbe essere un modo per dare una nuova definizione del V postulato?
Risposte
Interessante anche l'osservazione di Maverick, anche se forse sarebbe meglio ipotizzare di vivere sulla frontiera quadridimensionale di uno spazio a cinque dimensioni, visto che già viviamo in uno spazio quadridimensionale, lo spazio-tempo (dato che grazie alla teoria della relatività il concetto di spazio e quello di tempo interagiscono mutuamente).
Tempo fa leggevo su Focus o Newton che alcune recenti teorie fisiche collocano il nostro universo in uno spazio che va da 7 a 11 dimensioni, ma l'articolo era molto divulgativo.
nessuno ne sa qualcosa?
Tempo fa leggevo su Focus o Newton che alcune recenti teorie fisiche collocano il nostro universo in uno spazio che va da 7 a 11 dimensioni, ma l'articolo era molto divulgativo.
nessuno ne sa qualcosa?
quote:
la cosa che io mi domando è: chi ci dice che noi non viviamo sulla frontiera tridimensionale di uno spazio in realtà a 4 dimensioni?
oppure in generale in un sottospazio?
Mmm... tutto questo mi ricorda "Flatland" di Abbott
(ecco il primo link che ho trovato a una versione online della favola
http://www.alcyone.com/max/lit/flatland/ )
-anche se non capisco bene che cosa intendi per sottospazio-
quote:
in particolare quella del piano come superficie sferica se non sbaglio è alla base del modello di geometria non euclidea di riemann
era esattamente quello che intendevo, con un uso scorretto e un po' fantasioso dei termini
blepiro, le tue considerazioni sono molto carine. in particolare quella del piano come superficie sferica se non sbaglio è alla base del modello di geometria non euclidea di riemann.
la cosa che io mi domando è: chi ci dice che noi non viviamo sulla frontiera tridimensionale di uno spazio in realtà a 4 dimensioni?
oppure in generale in un sottospazio?
la cosa che io mi domando è: chi ci dice che noi non viviamo sulla frontiera tridimensionale di uno spazio in realtà a 4 dimensioni?
oppure in generale in un sottospazio?
quote:
complimenti, per essere il tuo primo post è bello lungo!!
beh, forse ho un po' esagerato...
grazie cmq
complimenti, per essere il tuo primo post è bello lungo!!
per quanto riguarda le tue considerazioni, la mia prof di tedesco direbbe che è un "Mischmasch"(cioè un mix) di filosofia e geometria:
mi spiego meglio...
all' incirca nel '400 un certo Nicolò Cusano ha parlato della coincidentia oppositorum, cioè del fatto che,andando all' infinito, gli opposti sono uguali(come appunto lo sono una retta e una circonferenza), facendo considerazioni geometriche simili alle tue...
per quanto riguarda l' ipersfera, puoi andare per analogia con la sfera...per esempio se la sfera la puoi vedere formata come la somma di infinite circonferenze, infinitamente vicine, l' ipersfera la puoi vedere come formata da infinite sfere infinitamente vicine(a dire il vero dovresti comunque immaginartelo in uno spazio quadridimensionale, perchè in uno 3D vedi solo una montagnola di sfere [:D]...)
per quanto riguarda le tue considerazioni, la mia prof di tedesco direbbe che è un "Mischmasch"(cioè un mix) di filosofia e geometria:
mi spiego meglio...
all' incirca nel '400 un certo Nicolò Cusano ha parlato della coincidentia oppositorum, cioè del fatto che,andando all' infinito, gli opposti sono uguali(come appunto lo sono una retta e una circonferenza), facendo considerazioni geometriche simili alle tue...
per quanto riguarda l' ipersfera, puoi andare per analogia con la sfera...per esempio se la sfera la puoi vedere formata come la somma di infinite circonferenze, infinitamente vicine, l' ipersfera la puoi vedere come formata da infinite sfere infinitamente vicine(a dire il vero dovresti comunque immaginartelo in uno spazio quadridimensionale, perchè in uno 3D vedi solo una montagnola di sfere [:D]...)
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