A proposito di equazioni polinomiali
a proposito delle soluzioni intere , mi piacerebbe sapere qual'e' il metodo generale per vedere se una equazione ha soluzioni intere, senza risolvere l'equazione?
grazie
gigi590
grazie
gigi590
Risposte
poi mi sembra pure che se abbiamo n^3-m^3 = (n-m)(n^2+nm+m^2)
non e' sempre detto che ((n^2+nm+m^2) non sia divisibile per (n-m),
ad esempio se n=8 e m =5 si ha:
8^3-5^3 = (8-5)(8^2+8*5+5^2)=3*(129) e si vede che il secondo termine del prodotto e' divisibile per il primo termine del prodotto.
solo se n e m sono dispari allora saremo sicuri che (n^2+nm+m^2)non sia divisibile per (n-m).
non e' sempre detto che ((n^2+nm+m^2) non sia divisibile per (n-m),
ad esempio se n=8 e m =5 si ha:
8^3-5^3 = (8-5)(8^2+8*5+5^2)=3*(129) e si vede che il secondo termine del prodotto e' divisibile per il primo termine del prodotto.
solo se n e m sono dispari allora saremo sicuri che (n^2+nm+m^2)non sia divisibile per (n-m).
ci ho ripensato meglio e credo che non vada bene la tua dimostrazione ,archimede, tu dici che e' x che divide (n-m) per avere soluzioni intere, invece se leggi bene l'equazione e' x^3 che divide
(n-m). e ti faccio un controesempio della tua dimostrazione:
33^3 = 9*(3993)
vedi che 33^3 divide 9 ma 33 non divide 9
bensi hanno in comune lo stesso sottomultiplo che e' 3 (evidente).
gigi590
(n-m). e ti faccio un controesempio della tua dimostrazione:
33^3 = 9*(3993)
vedi che 33^3 divide 9 ma 33 non divide 9
bensi hanno in comune lo stesso sottomultiplo che e' 3 (evidente).
gigi590
grazie archimede credo che la tua dimostrazione fino a prova contraria sia esatta.
Una dimostrazione elementare puo' essere questa:
Scriviamo l'equazione cosi':
x^3=(n-m)[3x^2+3(n+m)x+(n^2+nm+m^2)]
Da cui si vede che, se esiste una soluzione intera di x,
questa deve essere divisibile per n-m.
Poniamo allora x=h(n-m) con h intero e sostituiamo tale
valore di x nell'equazione di partenza:
h^3(n-m)^3-3h^2(n-m)^3-3h(n-m)(n^2-m^2)-(n-m)(n^2+nm+m^2)=0
e dividendo per n-m ( che,per l'ipotesi n>m, e' sicuramente
non nullo) si ha:
h^3(n-m)^2-3h^2(n-m)^2-3h(n-m)(n+m)=n^2+nm+m^2
e raccogliendo a primo membro il fattore comune n-m:
(n-m)[h^3(n-m)-3h^2(n-m)-3h(n+m)]=n^2+nm+m^2
Ora quest'ultima eguaglianza e' impossibile perche' il
primo membro e' ancora divibile per (n-m) mentre il secondo
membro,com'e' noto,non lo e'.
Conclusione non esistono soluzioni intere dell'equazione proposta.
E' da notare che l'ipotesi che n ed m siano primi tra loro
e' superflua.
Ciao.
Scriviamo l'equazione cosi':
x^3=(n-m)[3x^2+3(n+m)x+(n^2+nm+m^2)]
Da cui si vede che, se esiste una soluzione intera di x,
questa deve essere divisibile per n-m.
Poniamo allora x=h(n-m) con h intero e sostituiamo tale
valore di x nell'equazione di partenza:
h^3(n-m)^3-3h^2(n-m)^3-3h(n-m)(n^2-m^2)-(n-m)(n^2+nm+m^2)=0
e dividendo per n-m ( che,per l'ipotesi n>m, e' sicuramente
non nullo) si ha:
h^3(n-m)^2-3h^2(n-m)^2-3h(n-m)(n+m)=n^2+nm+m^2
e raccogliendo a primo membro il fattore comune n-m:
(n-m)[h^3(n-m)-3h^2(n-m)-3h(n+m)]=n^2+nm+m^2
Ora quest'ultima eguaglianza e' impossibile perche' il
primo membro e' ancora divibile per (n-m) mentre il secondo
membro,com'e' noto,non lo e'.
Conclusione non esistono soluzioni intere dell'equazione proposta.
E' da notare che l'ipotesi che n ed m siano primi tra loro
e' superflua.
Ciao.
L'algoritmo parziale puo' aiutare nel caso di una equazione ad esempio di terzo grado parametrica tipo questa che ammette una sola soluzione reale positiva e senza risolvere caso per caso si puo' affermare che la soluzione non puo' essere mai intera con queste ipotesi ? :
m e n interi con n>m , l'equazione e' la seguente:
x^3 - x^2(3n-3m) -x(3n^2-3m^2) - (n^3-m^3) = 0
ora questa equazione, vi posso assicurare ,che per qualsiasi valore di n e m interi non ammettera' mai una soluzione intera , ma come si fa per dimostrarlo.
Dallo studio dell'equazione di terzo grado si capisce che e' una equazione cardanica quindi ammette una sola soluzione reale ed inoltre per i segni dei coefficienti essa e' positiva ma come si fa a dire che non e' intera senza risolvere caso per caso ?
vi posso assicurare che e' cosi'.(possiamo anche dire che n e m oltre che interi positivi sono primi tra loro e n > m).
gigi590
m e n interi con n>m , l'equazione e' la seguente:
x^3 - x^2(3n-3m) -x(3n^2-3m^2) - (n^3-m^3) = 0
ora questa equazione, vi posso assicurare ,che per qualsiasi valore di n e m interi non ammettera' mai una soluzione intera , ma come si fa per dimostrarlo.
Dallo studio dell'equazione di terzo grado si capisce che e' una equazione cardanica quindi ammette una sola soluzione reale ed inoltre per i segni dei coefficienti essa e' positiva ma come si fa a dire che non e' intera senza risolvere caso per caso ?
vi posso assicurare che e' cosi'.(possiamo anche dire che n e m oltre che interi positivi sono primi tra loro e n > m).
gigi590
Non so se è noto e/o interessante, ma quel teorema è un caso particolare di questo:
«Gli zeri razionali di un polinomio P in una incognita sono numeri che hanno per numeratore un divisore del termine noto, e per denominatore un divisore del primo coefficiente.
Inoltre se divido il polinomio P per tutti i fattori del tipo "x-z" (dove gli "z" sono gli zeri), il termine noto di P è il prodotto del termine noto del quoziente per i numeratori di tutti gli zeri, e il primo coefficiente di P è il prodotto del primo coefficiente del quoziente per i denominatori di tutti gli zeri; i coefficienti del quoziente sono primi tra loro sse lo sono quelli del polinomio P.»
«Gli zeri razionali di un polinomio P in una incognita sono numeri che hanno per numeratore un divisore del termine noto, e per denominatore un divisore del primo coefficiente.
Inoltre se divido il polinomio P per tutti i fattori del tipo "x-z" (dove gli "z" sono gli zeri), il termine noto di P è il prodotto del termine noto del quoziente per i numeratori di tutti gli zeri, e il primo coefficiente di P è il prodotto del primo coefficiente del quoziente per i denominatori di tutti gli zeri; i coefficienti del quoziente sono primi tra loro sse lo sono quelli del polinomio P.»
questo problema è stato formulato da Hilbert (è noto come decimo problema di Hilbert); nel 1970 Matijasevic ha dimostrato che non esiste un algoritmo generale.
tuttavia, sotto opportune limitazioni sul numero di incognite o sul grado del polinomio, è possibile trovare un algoritmo parziale.
ad esempio, si può dimostrare che per stabilire se un polinomio a coefficienti interi p(x)= a0 + a1*x + .. + am*x^m
ha o no radici intere, basta determinare tutti i possibili divisori interi di a0, e controllare se tra di essi si trova o no qualche radice di p(x).
tuttavia, sotto opportune limitazioni sul numero di incognite o sul grado del polinomio, è possibile trovare un algoritmo parziale.
ad esempio, si può dimostrare che per stabilire se un polinomio a coefficienti interi p(x)= a0 + a1*x + .. + am*x^m
ha o no radici intere, basta determinare tutti i possibili divisori interi di a0, e controllare se tra di essi si trova o no qualche radice di p(x).
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