Non homogeneous Cauchy-Neumann Problem -Homogeneous equation
Solve with the variable separation method the following problem :
\[
\begin{cases}
u_t(x,t) - u_{xx} (x,t) = 0 &\text{, if } 0 < x <\pi \text{ and } t>0\\
u(x,0) = 0 &\text{, if } 0\leq x\leq \pi\\
u_x (0,t) =0 ; u_x(\pi,t) = U &\text{, if } t>0
\end{cases}
\]
If $U ne 0 $, can a stationary solution $u_(oo) =u_(oo)(x )$ exist?
Edit : modified boundary conditions.
\[
\begin{cases}
u_t(x,t) - u_{xx} (x,t) = 0 &\text{, if } 0 < x <\pi \text{ and } t>0\\
u(x,0) = 0 &\text{, if } 0\leq x\leq \pi\\
u_x (0,t) =0 ; u_x(\pi,t) = U &\text{, if } t>0
\end{cases}
\]
If $U ne 0 $, can a stationary solution $u_(oo) =u_(oo)(x )$ exist?
Edit : modified boundary conditions.
Risposte
L'ultimo post di gs86 non merita alcuna risposta da parte mia.
gs86 è stato bannato per una settimana in modo che abbia tempo per riflettere sullo spirito e sull'essenza del nostro regolamento.
Se si adeguerà sarà il benvenuto nel Forum, altrimenti non sentiremo la sua mancanza.
gs86 è stato bannato per una settimana in modo che abbia tempo per riflettere sullo spirito e sull'essenza del nostro regolamento.
Se si adeguerà sarà il benvenuto nel Forum, altrimenti non sentiremo la sua mancanza.
Scusate se mi intrometto, ma sono capitato in questa discussione quasi per caso e volevo dire qualcosa a gs86.
E' molto più semplice: basta seguire le regole del forum, il buon senso comune e la buona educazione nel chiedere aiuto. Stai per certo che se rispetti le semplici regole del vivere comune la risposta arriverà
.
Si è un sito di matematica ed infatti l'errore non è stato nello scegliere il sito, ma nel modo di cercare aiuto.
Credo che converrai con me che è importante porre domande nelle sezioni giuste, per il semplice motivo che quando un utente cerca un argomento và dritto alla sezione di pertinenza. Come tu non compreresti mai una lavatrice da un tabaccaio, io non cercherei mai nella sezione "Questioni tecniche" il tuo quesito, nè tantomeno lo troverei. Purtroppo il fatto che è una questione urgente non giustifica l'errore.
Spero che tu non te la prenda ma nessuno ce l'ha con te; è solo che la community ci tiene al rispetto delle regole, tutto qui.
Niente di che. Esponi il problema nel rispetto delle suddette regole e proponi la tua soluzione. Vedrai che saranno pronti a darti una mano
Ciao.
"gs86":
Ma che si deve pagare su questo sito per avere una risposta? Bisogna essere raccomandati?
E' molto più semplice: basta seguire le regole del forum, il buon senso comune e la buona educazione nel chiedere aiuto. Stai per certo che se rispetti le semplici regole del vivere comune la risposta arriverà
."gs86":
Oppure non è un sito di matematica? Dimmi tu..
Si è un sito di matematica ed infatti l'errore non è stato nello scegliere il sito, ma nel modo di cercare aiuto.
"gs86":
Poi ho proposto il mio quesito sulla prima pagina perchè se ho fatto quella domanda ho una certa urgenza nella risposta e mi hai bloccato la discussione? Ora mi chiedo perchè ce l'hai con me?
Credo che converrai con me che è importante porre domande nelle sezioni giuste, per il semplice motivo che quando un utente cerca un argomento và dritto alla sezione di pertinenza. Come tu non compreresti mai una lavatrice da un tabaccaio, io non cercherei mai nella sezione "Questioni tecniche" il tuo quesito, nè tantomeno lo troverei. Purtroppo il fatto che è una questione urgente non giustifica l'errore.
Spero che tu non te la prenda ma nessuno ce l'ha con te; è solo che la community ci tiene al rispetto delle regole, tutto qui.
"gs86":
Cosa devo fare per avere una risposta..fammi capire.
Niente di che. Esponi il problema nel rispetto delle suddette regole e proponi la tua soluzione. Vedrai che saranno pronti a darti una mano
Ciao.
Ma scusami io ho fatto una domanda di matematica e mi hai risposto già i maniera sgarbata dicendomi di farti capire qual'è il problema..io te l'ho spiegato gentilmente e non ho ricevuto risposta. Poi ho proposto il mio quesito sulla prima pagina perchè se ho fatto quella domanda ho una certa urgenza nella risposta e mi hai bloccato la discussione? Ora mi chiedo perchè ce l'hai con me? Cosa devo fare per avere una risposta..fammi capire..
Non hai capito lo spirito di questo Forum.
La tua risposta è scorretta e provocatoria.
Propongo una sospensione di una settimana in modo che tu abbia tempo per riflettere.
La tua risposta è scorretta e provocatoria.
Propongo una sospensione di una settimana in modo che tu abbia tempo per riflettere.
Ma se nessuno mi risponde scusami! Ma che si deve pagare su questo sito per avere una risposta? Bisogna essere raccomandati? Oppure non è un sito di matematica? Dimmi tu..
I can resolve the homogeneous problems very well, but I fail to solve the non homogeneous problems!
I can't to reduce my non homogeneous Cauchy-Neumann problem to homogeneous problem.
No, Forum is not an automatic problem solver.
You haven't even done the minimum effort to write the problem .
Indicate your tentative solutions at least !!
You haven't even done the minimum effort to write the problem .
Indicate your tentative solutions at least !!
Hi Camillo! Could you solve me this Non homogeneous Cauchy-Neumann Problem?
https://lh5.googleusercontent.com/-mBid0yputus/T8YJMmDsY9I/AAAAAAAAAAo/6jVbNVbCSJc/h120/IMG.jpg
https://lh5.googleusercontent.com/-mBid0yputus/T8YJMmDsY9I/AAAAAAAAAAo/6jVbNVbCSJc/h120/IMG.jpg
Thanks a lot, Camillo! 
Sorry, I dont know how happened but I did a mistake in copying the boundary conditions , the correct ones are :
$ u_x(0,t)=0 ; u_x(pi,t) = U ; t >0 $.Now I modify in the first post also.
Yes in the first issue of the problem $U $ was considered as $U(t) $; the correct formulation is that $ U $ is a constant.
$ u_x(0,t)=0 ; u_x(pi,t) = U ; t >0 $.Now I modify in the first post also.
Yes in the first issue of the problem $U $ was considered as $U(t) $; the correct formulation is that $ U $ is a constant.
Mmmm... I think there's a problem here: in fact \(u_x(0,t) = Ut/\pi \), hence \(u\) doesn't match the initial condition \(u_x =U\) on the \(t\) axis.
P.S.: Is \(U\) a constant? I guess so, but when I first read the problem I thought it was a given function of \(t\).
Moreover, has \(u_x=U\) to hold only on \(x=0\)? Or also on \(x=\pi\)?
P.S.: Is \(U\) a constant? I guess so, but when I first read the problem I thought it was a given function of \(t\).
Moreover, has \(u_x=U\) to hold only on \(x=0\)? Or also on \(x=\pi\)?
Following my previous posts with the problem and the hint we can choose, for instance :
$v(x)=(U x^2)/(2 pi)$.
Consequently the function $ w $ is solution of the non homogeneous problem (but with homogeneous conditions) :
$w_t(x,t) –w_(x x)(x,t) =U/pi ; 0< x< pi , t >0 $
$ w(x,0) = -(Ux^2)/(2pi) ; 0<=x <=pi $
$w_x(0,t) =0 ; w_x(pi,t) = 0 ; t > 0 $
We first consider solutions of homogeneous equation i.e. :
$w_t(x,t) –w_(x x)(x,t) =0 $.
and look for solutions of the kind :
$w(x,t) = a(x)*c(t) $.
Substituting in the equation we get :
$(c’(t))/(c(t)) =(a’’(x))/(a(x)) = lambda$ , $ lambda in RR $
This is an eigenvalue problem, solving it we find that eigenvalues are $ lambda_k = -k^2 $ and the eigenfunctions are : $a(x)= cos (kx) $. ($k in NN$).
It can be shown that the candidate solution is :
$ w(x,t)= (c_(0)(t))/2 +sum_(k=1)^(oo) c_k(t)*cos(kx) $.
We have to determine the $c_k(t)$ coefficients such that :
· $w_t-w_(x x) = (c_(0)’(t))/2+sum_(k=1)^(oo)[c’_k(t)+k^2c_k(t)]cos (kx)= U/pi.$
· $w(x,0)=(c_0(0))/2+sum_(k=1)^(oo) c_k(0) cos(kx)=-Ux^2/(2pi)$
Writing $ g(x)= (Ux^2)/(2pi) $ in cosine series , we find the expression :
· $(Ux^2)/(2pi)= U/(2pi) [ (pi)^2/3+ 4 sum_(k=1)^(oo) (-1)^k/(k^2)*cos(kx) ]$.
The series is uniformly convergent in $[0, pi] $.
Comparing the last three formulas, we realize that the various $c_k(t) $ must be solutions of the following Cauchy problems (with relevant initial conditions) :
*$c_(0)’(t) =(2U)/(pi) ;c_0(0)=-(Upi)/3 $
* $ c’_k(t) +k^2 c_k(t)= 0 ; c_k(0) =(2U)/(pi) (-1)^(k+1)/(k^2) ; k >=1 $
Solutions for Cauchy problems are :
$c_(0)(t)= (2U)/(pi) t – (Upi)/3$
$c_k(t) = (2U)/(pi)*(-1)^(k+1)/(k^2)*e^(-k^2*t) ; k>=1 $.
The solution of our problem is therefore :
$u(x,t)=w(x,t)+v(x)= (Ut)/pi –(Upi)/6 +(Ux^2)/(2pi)+(2U)/(pi) sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k+1)/(k^2) e^(-k^2t)cos(kx)$. (**)
* If $U ne 0 $ a stationary solution $ u_(oo) =u_(oo)(x) $ cannot exist.
In fact it should be solution of the problem ( note that $u_t(x,t)=0 $ ):
$u_(oo)''(x)=0 $
$u_(oo)'(0) =0 $
$u_(oo)' (pi) = U $
and this problem has no solution.
Analysis of the solution (**)
The series is uniformly convergent in $[0,pi] X[0, oo] $ therefore $u $ is there continuous.
The derivatives of any order can be exchanged with the sum sign in $[0, pi]X[t_0,oo] $ for any $t_0 >0$; as consequence $u $ is solution of the diffusion equation in $(0,pi)X(0, oo)$.
$v(x)=(U x^2)/(2 pi)$.
Consequently the function $ w $ is solution of the non homogeneous problem (but with homogeneous conditions) :
$w_t(x,t) –w_(x x)(x,t) =U/pi ; 0< x< pi , t >0 $
$ w(x,0) = -(Ux^2)/(2pi) ; 0<=x <=pi $
$w_x(0,t) =0 ; w_x(pi,t) = 0 ; t > 0 $
We first consider solutions of homogeneous equation i.e. :
$w_t(x,t) –w_(x x)(x,t) =0 $.
and look for solutions of the kind :
$w(x,t) = a(x)*c(t) $.
Substituting in the equation we get :
$(c’(t))/(c(t)) =(a’’(x))/(a(x)) = lambda$ , $ lambda in RR $
This is an eigenvalue problem, solving it we find that eigenvalues are $ lambda_k = -k^2 $ and the eigenfunctions are : $a(x)= cos (kx) $. ($k in NN$).
It can be shown that the candidate solution is :
$ w(x,t)= (c_(0)(t))/2 +sum_(k=1)^(oo) c_k(t)*cos(kx) $.
We have to determine the $c_k(t)$ coefficients such that :
· $w_t-w_(x x) = (c_(0)’(t))/2+sum_(k=1)^(oo)[c’_k(t)+k^2c_k(t)]cos (kx)= U/pi.$
· $w(x,0)=(c_0(0))/2+sum_(k=1)^(oo) c_k(0) cos(kx)=-Ux^2/(2pi)$
Writing $ g(x)= (Ux^2)/(2pi) $ in cosine series , we find the expression :
· $(Ux^2)/(2pi)= U/(2pi) [ (pi)^2/3+ 4 sum_(k=1)^(oo) (-1)^k/(k^2)*cos(kx) ]$.
The series is uniformly convergent in $[0, pi] $.
Comparing the last three formulas, we realize that the various $c_k(t) $ must be solutions of the following Cauchy problems (with relevant initial conditions) :
*$c_(0)’(t) =(2U)/(pi) ;c_0(0)=-(Upi)/3 $
* $ c’_k(t) +k^2 c_k(t)= 0 ; c_k(0) =(2U)/(pi) (-1)^(k+1)/(k^2) ; k >=1 $
Solutions for Cauchy problems are :
$c_(0)(t)= (2U)/(pi) t – (Upi)/3$
$c_k(t) = (2U)/(pi)*(-1)^(k+1)/(k^2)*e^(-k^2*t) ; k>=1 $.
The solution of our problem is therefore :
$u(x,t)=w(x,t)+v(x)= (Ut)/pi –(Upi)/6 +(Ux^2)/(2pi)+(2U)/(pi) sum_(k=1)^(oo) (-1)^(k+1)/(k^2) e^(-k^2t)cos(kx)$. (**)
* If $U ne 0 $ a stationary solution $ u_(oo) =u_(oo)(x) $ cannot exist.
In fact it should be solution of the problem ( note that $u_t(x,t)=0 $ ):
$u_(oo)''(x)=0 $
$u_(oo)'(0) =0 $
$u_(oo)' (pi) = U $
and this problem has no solution.
Analysis of the solution (**)
The series is uniformly convergent in $[0,pi] X[0, oo] $ therefore $u $ is there continuous.
The derivatives of any order can be exchanged with the sum sign in $[0, pi]X[t_0,oo] $ for any $t_0 >0$; as consequence $u $ is solution of the diffusion equation in $(0,pi)X(0, oo)$.
Interesting problem , I will post solution in the near future 
Camillo, sorry, could you please work out the solution to this old problem when you have some spare time?
It suffices to set $w(x,t)=w_1(x)w_2(t)$? Hence, when we have $w_1$ and $w_2$ it is easy to construct the Fourier's serie of the solution.
Hint : it is convenient to transform the original problem into one with homogeneous conditions.
Let's put :
$w(x,t)= u(x,t)-v(x) $
where $v_x(0)=0 ; v_x(pi)= U $.
Let's put :
$w(x,t)= u(x,t)-v(x) $
where $v_x(0)=0 ; v_x(pi)= U $.
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