[EX] A Problem on Infinite Nested Radicals
Problem:
Does there exist any $x >= 0$ such that the following equality:
$x + sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(...)))) = x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(...))))$
holds?
Does there exist any $x >= 0$ such that the following equality:
$x + sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(...)))) = x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(...))))$
holds?
Risposte
"@melia":
[quote="gugo82"]@ megas_archon: Shumë faleminderit per pergjigjen.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.
Albanese?[/quote]
Arbëreshe probabilmente. Buon natale.
Ça Va
First step: Let's define a function $f(x)=x+sqrt(f(x))$ where $f(x)>=0$
We want to prove by induction, that's a recursive function (just because we can).
Since $x+sqrt(f(x))=x+sqrt(x+sqrt(f(x))) rArr x^2+f(x)+2xsqrt(f(x))=x^2+[x+sqrt(f(x))=f(x)]+2xsqrt(x+sqrt(f(x))) rArr sqrt(f(x))=sqrt(x+sqrt(f(x))) rArr f(x)=x+sqrt(f(x))$
By substitution, the process can be repeated ad infinitum.
By expanding the function into an infinite sum, we have that $f(x)=x + sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(...))))$
Second step: Let's define a second function $g(x)=xsqrt(g(x))$ where $ { ( g(x)=0 if x=0 ),( g(x)>0 if x!=0 ):} $
Hence, the following identity holds true $g(x)[x^2-g(x)]=0$ only for $g(x)=0$ and $g(x)=x^2$
Third step: let's find out for which values of $x$ the identity $f(x)=g(x)$ is true.
For $x=0$ follows that $f(0)=0+sqrt(0)=0$ The identity holds true, hence $x=0$ is a solution.
For $x!=0$ $f(x)=g(x)=x^2 rArr x+sqrt(x^2)=x^2 rArr x=2$
Final step: Let's choose $g(x)= x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(...))))=xsqrt(g(x))$ and prove that it satisfies our definition.
$g(x)=0$ only and only if $x=0$ Check!
$g(x)=prod_(n = 0)^(oo) x^[(1/2)^n]=x^(sum_(n=0)^(oo) (1/2)^n)=x^2$ Check!
We want to prove by induction, that's a recursive function (just because we can).
Since $x+sqrt(f(x))=x+sqrt(x+sqrt(f(x))) rArr x^2+f(x)+2xsqrt(f(x))=x^2+[x+sqrt(f(x))=f(x)]+2xsqrt(x+sqrt(f(x))) rArr sqrt(f(x))=sqrt(x+sqrt(f(x))) rArr f(x)=x+sqrt(f(x))$
By substitution, the process can be repeated ad infinitum.
By expanding the function into an infinite sum, we have that $f(x)=x + sqrt(x+sqrt(x+sqrt(x+sqrt(...))))$
Second step: Let's define a second function $g(x)=xsqrt(g(x))$ where $ { ( g(x)=0 if x=0 ),( g(x)>0 if x!=0 ):} $
Hence, the following identity holds true $g(x)[x^2-g(x)]=0$ only for $g(x)=0$ and $g(x)=x^2$
Third step: let's find out for which values of $x$ the identity $f(x)=g(x)$ is true.
For $x=0$ follows that $f(0)=0+sqrt(0)=0$ The identity holds true, hence $x=0$ is a solution.
For $x!=0$ $f(x)=g(x)=x^2 rArr x+sqrt(x^2)=x^2 rArr x=2$
Final step: Let's choose $g(x)= x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(x * sqrt(...))))=xsqrt(g(x))$ and prove that it satisfies our definition.
$g(x)=0$ only and only if $x=0$ Check!
$g(x)=prod_(n = 0)^(oo) x^[(1/2)^n]=x^(sum_(n=0)^(oo) (1/2)^n)=x^2$ Check!
"@melia":
[quote="gugo82"]@ megas_archon: Shumë faleminderit per pergjigjen.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.
Albanese?[/quote]
Po.
"gugo82":
@ megas_archon: Shumë faleminderit per pergjigjen.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.
Albanese?
@gugo82 
@ megas_archon: Shumë faleminderit per pergjigjen.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.
Një gjë interesante që mbetet për t'u demonstruar është konvergjenca e atyre shprehjeve me radikalët. Pasi të bëhet kjo, përgjigja është e plotë.
Nice problem: can I print (in spoiler) a solution?
Mi sa che è catalano.
Why are you kidding?
Please write in English here
Out of curiosity... What language is it?
Please write in English here
Out of curiosity... What language is it?
Les úniques solucions són $x = 0$ i $x = 2$: pel que fa a $0$, no cal fer cap càlcul: és evident que és una solució. Així doncs, a partir d'ara $ x> 0 $ (també és evident que no pot ser $ x <0 $).
Per al costat esquerre de l'equació, estem buscant un nombre real $a$ tal que $ a = x + \sqrt{a} $, és a dir, un nombre real $ a $ que sigui la solució de l'equació de segon grau $ a ^ 2 - ( 2x + 1) a + x ^ 2 = 0$. Per al costat dret, busquem un nombre real $ b $ tal que $ b = x \sqrt{b} $, és a dir, $ b = x ^ 2 $.
Ajuntant-ho tot, i imposant que $ a $ (solució de la seqüència definida per recurrència a l'esquerra) sigui igual a $ b $ (solució de la recurrència a la dreta), obtenim una equació en $ x $, que té com única solució $ 2 $, sota les condicions ja indicades.
Per al costat esquerre de l'equació, estem buscant un nombre real $a$ tal que $ a = x + \sqrt{a} $, és a dir, un nombre real $ a $ que sigui la solució de l'equació de segon grau $ a ^ 2 - ( 2x + 1) a + x ^ 2 = 0$. Per al costat dret, busquem un nombre real $ b $ tal que $ b = x \sqrt{b} $, és a dir, $ b = x ^ 2 $.
Ajuntant-ho tot, i imposant que $ a $ (solució de la seqüència definida per recurrència a l'esquerra) sigui igual a $ b $ (solució de la recurrència a la dreta), obtenim una equació en $ x $, que té com única solució $ 2 $, sota les condicions ja indicades.
Accedi a tutti gli appunti
Tutor AI: studia meglio e in meno tempo