X=min{|Y|,1} come procedo?

[Bluff1]

Invece in questo esercizio:

Sia $f(y)=e^(-2|y|)$ la f.d.p della v.a. $Y in RR$. Determinare la f.r. della v.a. $X=min{|Y|,1}$.

Io sono arrivato a questa ipotesi. La $X=|Y|$ quando $Y in [-1,1]$ mentre per $Y<-1$ e $Y>1$ avremo che $X=1$.
Ora siccome la f.r. è l'integrale della f.d.p. cioè $F(x)=\int_{-oo}^x f(x)$ allora qui cosa considero?

Cosa considero quando $X=|Y|$? Questo integrale? $F(x)=\int_{-1}^x e^(-2|x|)$
E quando $X=1$?

Oppure il mio ragionamento è del tutto sbagliato?

[DajeForte]

"Bluff":Io sono arrivato a questa ipotesi. La $X=|Y|$ quando $Y in [-1,1]$ mentre per $Y<-1$ e $Y>1$ avremo che $X=1$.

Giusto.
Quindi la f.r. avrà un sato in 1 perchè $P(X=1)>0$. Questa distribuzione è un po' continua ed un po' discreta.
La f.r. innanzitutto sarà nulla per x<0 (perchè? In genere quando si affronta questo tipo di problemi la prima cosa da fare è capire quali valori la v.a. potrà assumere.)

per 0 ed in x=1 un salto di probabilità...

[Bluff1]

"DajeForte":
La f.r. innanzitutto sarà nulla per x<0 (perchè? In genere quando si affronta questo tipo di problemi la prima cosa da fare è capire quali valori la v.a. potrà assumere.)

Secondo me perchè essendo $X=min{|Y|,1}$ allora questo vuol dire che $X in RR^+$

"DajeForte":per 0
direi di scrivere il seguente integrale $\int_0^x e^(-2|x|)$

"DajeForte":ed in x=1 un salto di probabilità...

che mi porta a pensare ad una $f(x)=1$

[DajeForte]

"Bluff":[quote="DajeForte"]
La f.r. innanzitutto sarà nulla per x<0 (perchè? In genere quando si affronta questo tipo di problemi la prima cosa da fare è capire quali valori la v.a. potrà assumere.)

Secondo me perchè essendo $X=min{|Y|,1}$ allora questo vuol dire che $X in RR^+$[/quote]
Ok.

"DajeForte":per 0
direi di scrivere il seguente integrale $\int_0^x e^(-2|x|)$

No. $F_X(x)=P(X<=x)=P(|Y|<=x)=P(-x

"DajeForte":ed in x=1 un salto di probabilità...

che mi porta a pensare ad una $f(x)=1$

Qua appunto non ho capito. $P(X=1)=P(|Y|>1)$

[Bluff1]

Ah ok, credo di aver capito. Mi rimane il dubbio nell'ultimo cioè posso fare così:
$P(|Y|>1)=1-P(-1
Dato che ci sono posso chiederti una cosa? In questo esercizio:
L'altezza di progetto di un pezzo è 80mm. L'errore standard della produzione è 9 $\mu m$. Si accettano i pezzi con altezza compresa tra $h-c_1$ e $h+c_2$ dove $c_1=7 \mu m$ e $c_2=8 \mu m$. I pezzi di altezza inferiore vanno al rifiuto mentre quelli di altezza superiore alla revisione. Calcolare la probabilità che su 12 pezzi presi a caso più di 2 vadano alla revisione e che su 640 pezzi più di 380 vengano accettati.

Con errore standard, se non sbaglio si intende la deviazione standard, quindi avendo quella e sapendo che l'altezza media è 80 io ho pensato di scrivere $P(X Poi ho preso $S_n=\sum X_i$ e quindi $E(S_n)=12(0,18673)$ e $Var(S_n)=12(0,18673)(1-0,18673)$ e poi ho applicato il teorema del limite centrale.

Per la seconda domanda cioè quella di calcolare la probabilità che su 640 pezzi più di 380 vengano accettati devo ripetere lo stesso procedimento? Perchè mi trovo in difficoltà e non capisco se sto sbagliando.

[DajeForte]

Hai tre probabilità: $p_1$ $p_2$ $p_3$ che sono le tre probabilità che il pezzo venga rifiutato, accettato, revisionato.
Hai che $X sim N(80,9)$ dove $sigma=9$.

$p_1=P(X<73)$ standardizzi ed ottieni la probabilità. Questa mi viene 0.21835.
$p_2=0.5946186$
$p_3=0.1870314$
Ricontrollali, magari sbaglio io.

Ora devi impostare una binomiale corrispondente a 12 estrazioni con probabilità $p=p_1$.
Nel secondo caso è la stessa cosa dove però trovati media e deviazione standard della binomiale ti conviene effettuare la approssimazione normale.

[DajeForte]

"Bluff":Ah ok, credo di aver capito. Mi rimane il dubbio nell'ultimo cioè posso fare così:
$P(|Y|>1)=1-P(-1

Ok

[Bluff1]

"DajeForte":Hai tre probabilità: $p_1$ $p_2$ $p_3$ che sono le tre probabilità che il pezzo venga rifiutato, accettato, revisionato.
Hai che $X sim N(80,9)$ dove $sigma=9$.

$p_1=P(X<73)$ standardizzi ed ottieni la probabilità. Questa mi viene 0.21835.
$p_2=0.5946186$
$p_3=0.1870314$
Ricontrollali, magari sbaglio io.

Ora devi impostare una binomiale corrispondente a 12 estrazioni con probabilità $p=p_1$.
Nel secondo caso è la stessa cosa dove però trovati media e deviazione standard della binomiale ti conviene effettuare la approssimazione normale.

Ok ora allora provo a fare i calcoli.
Ultimissima cosa e non ti rompo più, questa volta è più un dubbio "teorico" cioè se io ho n variabili aleatorie descritte da una funzione di ripartizione del tipo:
$G(x)=0$ per $x in (-oo,-3]$
$G(x)=1/4$ per $x in (-3,0]$
$G(x)=1/2$ per $x in (0,1]$
$G(x)=1$ per $x in (1,-oo)$
ho capito che ho i punti ${-3,0,1}$ che hanno masse ma non capisco perchè in $-3$ la massa sia $1/4$ e non $0$, ed analogamente perchè in ${0}$ questa volta la massa è ${1/4}$ e non ${1/2}$. Io mi ricordo di aver sentito che per capire quanta massa c'è devo guardare ciò che c'è prima del punto e quindi risulta incoerente questa pseudo-definizione con la massa in $3$.c

[DajeForte]

Da quello che scrivi mi pare di capire che come definizione di f.r. $G(x)=P(X Quello che devi vedere è quanto è alto il salto che fa la f.r. nei punti.
Dunque $P(X=-3)=G(-3^+)-G(-3)=1/4-0$
dove $G(x^+)=lim_{y to x^+} G(y)$

Altri autori definiscono la f.r. come $G(x)=P(X<=x)$.
in questo caso hai che $P(X=x)=G(x)-G(x^-)$.

[Bluff1]

Ok ora mi è molto più chiaro! Grazie ancora di tutto e scusa per il disturbo.

P.S. Nell'esercizio di revisioni, accettati, rifiutati mi sa che hai sbagliato la probabilità della binomiale perchè il testo chiedeva quelli revisionati. Lo dico per quelli che magari leggeranno questo post.

Grazie ancora.

[DajeForte]

Prego. Ciao