White noise / rumore bianco

[el_pampa1]

Buongiorno a tutti. Ho un problema: io ho sempre definito un rumore bianco come una successione di variabiali non correlate , identicamente distribuite con media $0$ e varianza $\sigma^{2}$.
Tuttavia ora non mi basta e devo definire anche il rumore bianco come indipendente da $x_{t-1}$ prima. Mi spiego meglio: consideriamo ad esempio $x_{t}=f(x_{t-1}, x_{t-2}..) + \epsilon_{t}$ e devo dire che il rumore bianco $\epsilon_{t}$ è indipendente.

Pensavo di scrivere una cosa del tipo:
Consideriamo la filtrazione naturale $F_{t}=\sigma(X_{s}, s<=t)$ a cui il processo $x$ è adattato allora il rumore bianco $\epsilon_{t}$ è indipendente da $F_{s}=\sigma(X_{s}, s
è GIUSTO?? Come potrei ampliare?

[olaxgabry]

Se vuoi che gli $\epsilon_{t}$ siano tra loro indipendenti basta che imponi che siano Gaussiani: qui infatti l'incorrelazione implica l'indipendenza.
Il tuo ragionamento non mi torna per una cosa: non è detto che se il rumore bianco è indipendente da $F_{s}=\sigma(X_{s},s Fammi sapere per cosa ti serve l'indipendenza: ad occhio per le previsioni, però dammi una conferma.
Ciao

[el_pampa1]

Perchè devo dire che non solo gli $\epsilon$ sono indipendenti tra loro (mi basterebbe infatti porre che siano gaussiane) ma devo dire che sono indipendenti rispetto a anche alle $x$ precedenti cioè che ad esempio $\epsilon_{t}$ è indipe da $x_{t-1}, x_{t-2},x_{t-3}..$

[olaxgabry]

"el_pampa":Perchè devo dire che non solo gli $\epsilon$ sono indipendenti tra loro (mi basterebbe infatti porre che siano gaussiane) ma devo dire che sono indipendenti rispetto a anche alle $x$ precedenti cioè che ad esempio $\epsilon_{t}$ è indipe da $x_{t-1}, x_{t-2},x_{t-3}..$

Per caso ti serve per le proprietà degli stimatori del modello?

[el_pampa1]

si e no nel senso che mi serve anche per quello ma mi serve proprio come ipotesi generale per tutti i discorsi che faccio nel mio lavoro. Quando introduco il concetto di rumore bianco vorrei dire quello che non riesco bene a dire e cioè la questione della misurabilità

[olaxgabry]

Il discorso che nella pratica difficilmente $\epsilon_{t}$ sarà indipendente dai regressori del tuo modello. Basta che prendi un semplice modello AR(p) e lo stimi con gli OLS: qui gli stimatori non sono consistenti proprio per questo motivo; la consistenza è asintotica grazie alla legge dei grandi numeri.
In sostanza come ipotesi generale è troppo forte a mio parere e poco attendibile (il caso AR(p) è un esempio).
Nel tuo caso che tipo di f hai nel modello?