Vincitori compreso me

[mobley]

Ho $W=[$numero potenziali vincitori della lotteria$]~ Po(1)$, e so che ci sono almeno due vincitori, compreso il sottoscritto. Sto cercando la probabilità che il vincitore sia proprio io. Mi sono bloccato a:

$\mathbb(P)($IO vinco$)$ $=1/e\sum_(s=2)^(+\infty) 1/(s!)$

con $w=s-1$ ma non riesco a trasformare la sommatoria. Avete qualche idea?

[ghira1]

Non capisco la domanda. "so che ci sono almeno due vincitori, compreso il sottoscritto. Sto cercando la probabilità che il vincitore sia proprio io."

Quindi sicuramente hai vinto tu. E sicuramente ha vinto almeno un'altra persona.

Cosa vuol dire "il vincitore sia proprio io"?

[mobley]

Stiamo supponendo che IO sia uno dei vincitori della lotteria, ma potrebbero essercene anche altri. Assumendo che il numero di vincitori (distribuito come una Poisson di parametro $\lambda=1$) sia almeno pari a due, sto cercando la probabilità che tra tutti i vincitori sia io a ritirare il premio messo in palio.

[Lo_zio_Tom]

"mobley":Mi sono bloccato a:

$\mathbb(P)($IO vinco$)$ $=1/e\sum_(s=2)^(+\infty) 1/(s!)$

con $w=s-1$ ma non riesco a trasformare la sommatoria. Avete qualche idea?

Come ti ha già detto @ghira l'esercizio per come lo hai riportato non ha alcun senso. La formula postata ne ha ancora meno...quindi senza entrare nei dettagli del perché questa formula non serve a nulla, mi limito a rispondere alla domanda che hai posto

Considerando il noto sviluppo in serie $sum_(x =0)^(oo)1/(x!)=e$ trovi subito $sum_(x =2)^(oo)1/(x!)=e-2$

Qui non siamo ad analisi 1....Qui siamo ad analisi zero

[mobley]

Questo la traccia copiata "papale papale".

Sei una delle 10 milioni di persone che partecipano ad una lotteria. Ogni persona, indipendentemente dalle altre, ha una probabilità di vincere pari a 1 su 10 milioni.
a) Trova un'approssimazione per la distribuzione della v.a. X= “numero di vincitori alla lotteria”.
b) Supponiamo che TU sia uno dei vincitori. Tuttavia, ce ne potrebbero essere altri. Assumiamo che il numero di vincitori sia una v.a. $W∼Pois(\lambda)$ e che sappiamo che ci sono almeno due vincitori. Allora il premio verrà estratto a sorte tra quelli che hanno vinto. Data questa informazione, qual è la probabilità che TU vinca il premio.

[Lo_zio_Tom]

Questa traccia non è ciò che avevi scritto all'inizio....questa ha senso

La distribuzione condizionata è evidentemente questa

$P(X=x|X>=2)=1/(e^lambda-1-lambda)xxlambda^x/(x!)$; $x=2,3,4,....$

se vincono due persone avrai probabilità $1/2$ di ritirare il premio....se siete in 3 $1/3$ ecc ecc

Quindi la soluzione è

$1/(e^lambda-1-lambda)xxsum_(x=2)^(oo)lambda^x/(x\cdotx!)~~1/(lambda-1)$

Questa approssimazione funziona bene con $lambda>=6$

quando $lambda$ è piccolissimo anche la serie non ha molti termini significativi...perché poi son tutti tendenti a zero...e quindi faccio il calcolo a mano (basta sommare 5 o 6 termini)



Ps: non sei un novellino del forum....postare dei riassunti più o meno dettagliati che senso ha quando lasci fuori la frase più importante....

"mobley":Allora il premio verrà estratto a sorte tra quelli che hanno vinto.

[mobley]

Giustamente… Chiedo scusa ragazzi, era solo per non appesantire il post.
Comunque io sono arrivato a

$\mathbb(P)($io vinco$)$ $=\sum_(w=1)^(+\infty) \mathbb(P)(X=w)($io vinco $|$ $X=w $)$ =\sum_(w=1)^+\infty e^(-1)/(w!)\cdot 1/(w+1)=1/e\sum_(s=2)^+\infty 1/(s!)$

e credo di averlo impostato bene il problema (credo...). Come ottengo $1/(\lambda-1)$ da qui?