Vettori normali
ciao a tutti, torno con un esercizio sui vettori gaussiani un pochino diverso dal solito.
Le v.a. $Y_1, Y_2, Y_3$ sono tali che $Z_1 = Y_1+Y_2$, $Z_2 = Y_2+Y_3$, $Z_3 = Y_3+Y_1$ sono v.a. $N\sim(0, 1)$ indipendenti. Calcolare la densità congiunta di $(Y1, Y2, Y3)^T$ (Ovviamente sarà un vettore normale quindi basta speci carne....)
Immagino che essendo v.a. normali basti specificarne media e varianza, ma non è questo il mio dubbio. Di solito viene richiesto il problema inverso, cioè dai alcuni vettori indipendenti tra loro, trovare la densità o la funzione caraterisitca, di alcune loro trasformazioni lineari. E fin qui tutto ok..
Ora invece il problema è completamente nuovo e ho pensato di affrontarlo così: il vettore $(Z_1, Z_2, Z_3)$ può essere scritto come
$((Z_1),(Z_2),(Z_3)) = ((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))((Y_1),(Y_2),(Y_3))$
e fino a qui dovrebbe essere tutto lecito.
Allora non credo ci siano problemi a dire che: $((Y_1),(Y_2),(Y_3))=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))^-1((Z_1),(Z_2),(Z_3))$
così ho espresso le $Y_i$ in funzione di v.a. normale iid, e mi sono riportato al problema "semplice"..
Che ne dite ?
Le v.a. $Y_1, Y_2, Y_3$ sono tali che $Z_1 = Y_1+Y_2$, $Z_2 = Y_2+Y_3$, $Z_3 = Y_3+Y_1$ sono v.a. $N\sim(0, 1)$ indipendenti. Calcolare la densità congiunta di $(Y1, Y2, Y3)^T$ (Ovviamente sarà un vettore normale quindi basta speci carne....)
Immagino che essendo v.a. normali basti specificarne media e varianza, ma non è questo il mio dubbio. Di solito viene richiesto il problema inverso, cioè dai alcuni vettori indipendenti tra loro, trovare la densità o la funzione caraterisitca, di alcune loro trasformazioni lineari. E fin qui tutto ok..
Ora invece il problema è completamente nuovo e ho pensato di affrontarlo così: il vettore $(Z_1, Z_2, Z_3)$ può essere scritto come
$((Z_1),(Z_2),(Z_3)) = ((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))((Y_1),(Y_2),(Y_3))$
e fino a qui dovrebbe essere tutto lecito.
Allora non credo ci siano problemi a dire che: $((Y_1),(Y_2),(Y_3))=((1,1,0),(0,1,1),(1,0,1))^-1((Z_1),(Z_2),(Z_3))$
così ho espresso le $Y_i$ in funzione di v.a. normale iid, e mi sono riportato al problema "semplice"..
Che ne dite ?
Risposte
Mi pare vada bene. Stavo pensando se effettivamente le condizioni lascino solo la possibilità che le v.a. siano normali (ma credo di si).
Mi pare sia giusto: hai un sistema lineare 3x3 che ha una sola souzione, ovvero l'unica possibilità è che le Y seguano quella combinazione lineare di Z di cui sappiamo la distribuzione.
Fatti una conferma con le funzioni caratteristiche.
Mi pare sia giusto: hai un sistema lineare 3x3 che ha una sola souzione, ovvero l'unica possibilità è che le Y seguano quella combinazione lineare di Z di cui sappiamo la distribuzione.
Fatti una conferma con le funzioni caratteristiche.
"DajeForte":
Mi pare vada bene. Stavo pensando se effettivamente le condizioni lascino solo la possibilità che le v.a. siano normali (ma credo di si).
Fatti una conferma con le funzioni caratteristiche.
bè si, le Y sono normali in quanto lo suggerisce il testo
ora provo a fare il calcolo..
mmh credo ci sia qualche problema. La matrice inversa vale: $1/2((1,-1,1),(1,1,-1),(-1,1,1))$
quindi mi trovo le composizioni $Y_1 = 1/2(Z_1 - Z_2 + Z_3), Y_2 = 1/2...$
Allora la funzione caratteristica diventa: $\Phi_(Y_1,Y_2,Y_3)(t_1,t_2,t_3) = exp{jZ_1 1/2(t_1 + t_2 - t_3) +jZ_2 1/2(-t_1 + t_2 + t_3) +jZ_3 1/2(t_1 - t_2 +t_3)}$
allora ad esempio $\Phi_(Y_1)(t_1) = \Phi_(Y_1,Y_2,Y_3)(t_1,0,0) = exp{-1/2 1/4 t_1^2 + 1/2 1/4 t_1^2 + 1/2 1/4 t_1^2} = exp{-1/2 1/4 t_1^2}
cioè $Y_1 \sim N(0,1/4)$ e in maniera analoga si ottengono le altre 2 variaibili con lo stesso risultato. Quindi la somma di 2 v.a. di varianza $1/4$ non può dare una v.a. di varianza $1$.
Il coefficiente $1/4$ l' ho tirato fuori elevando $1/2$ alla seconda per la proprietà della varianza..
A questo punto mi vengono da pensare 2 cose:
1) i passaggi algebrici sono giusti, quindi le v.a. Y non sono indipendenti e la loro correlazione vale $1/4$ ma non mi pare un buon motodo per verificare i calcoli..
2) oppure qualcosa non torna
quindi mi trovo le composizioni $Y_1 = 1/2(Z_1 - Z_2 + Z_3), Y_2 = 1/2...$
Allora la funzione caratteristica diventa: $\Phi_(Y_1,Y_2,Y_3)(t_1,t_2,t_3) = exp{jZ_1 1/2(t_1 + t_2 - t_3) +jZ_2 1/2(-t_1 + t_2 + t_3) +jZ_3 1/2(t_1 - t_2 +t_3)}$
allora ad esempio $\Phi_(Y_1)(t_1) = \Phi_(Y_1,Y_2,Y_3)(t_1,0,0) = exp{-1/2 1/4 t_1^2 + 1/2 1/4 t_1^2 + 1/2 1/4 t_1^2} = exp{-1/2 1/4 t_1^2}
cioè $Y_1 \sim N(0,1/4)$ e in maniera analoga si ottengono le altre 2 variaibili con lo stesso risultato. Quindi la somma di 2 v.a. di varianza $1/4$ non può dare una v.a. di varianza $1$.
Il coefficiente $1/4$ l' ho tirato fuori elevando $1/2$ alla seconda per la proprietà della varianza..
A questo punto mi vengono da pensare 2 cose:
1) i passaggi algebrici sono giusti, quindi le v.a. Y non sono indipendenti e la loro correlazione vale $1/4$ ma non mi pare un buon motodo per verificare i calcoli..
2) oppure qualcosa non torna
Non so se ti può essere utile, ma sapendo che $Z$ è un vettore gaussiano, ossia $Z\simN_3(0,Q)$, ti puoi calcolare facilmente la legge di $Y=AX$ anche grazie al fatto che $Y\simN_3(0,A\cdotQA^T)$, ossia nel tuo caso $Y\simN_3(0,A\cdotA^T)$. Svolgendo i calcoli e ammesso di non aver sbagliato in effetti gli $Y$ mi risulterebbero di varianza $3/4$ e con covarianze di $-1/4$.
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