Vettori aleatori gaussiani
Un esercizio mi propone un vettore aleatorio gaussiano a tre componenti di cui siano noti il vettore delle medie e la matrice di covarianza, e mi chiede di calcolare la funzione di densità del vettore $ vec X $ formato dalle prime due componenti.
La matrice di covarianza è ovviamente simmetrica ma NON diagonale, infatti è più o meno così (non ricordo i valori precisi):
$ ( ( 4, 3/2, 0 ),( 3/2, 1, 0 ),( 0, 0, 1 ) ) $
X1 e X2 hanno covarianza non nulla, quindi sono correlate e a maggior ragione non indipendenti, perciò non posso ottenere la funzione di densità del vettore come prodotto delle densità marginali. Avevo pensato a ricavare quella matrice A che rappresenta (X1, X2) in funzione di (Z1, Z2) (con Z normali standard), ossia:
$ vec X = A vec Z + B $
Da cui poi poter risalire alla densità del vettore usando la seguente:
$ f_{vec X}(vec x) = f_{vec Z} ^{-1}(A^{-1}(vec x - vec B)) * 1 / |A| $
Sapendo che la matrice di covarianza di (X1, X2) è $ C = A * A^T $ . Tuttavia mi sembra un percorso troppo tortuoso.
Qualche dritta?
La matrice di covarianza è ovviamente simmetrica ma NON diagonale, infatti è più o meno così (non ricordo i valori precisi):
$ ( ( 4, 3/2, 0 ),( 3/2, 1, 0 ),( 0, 0, 1 ) ) $
X1 e X2 hanno covarianza non nulla, quindi sono correlate e a maggior ragione non indipendenti, perciò non posso ottenere la funzione di densità del vettore come prodotto delle densità marginali. Avevo pensato a ricavare quella matrice A che rappresenta (X1, X2) in funzione di (Z1, Z2) (con Z normali standard), ossia:
$ vec X = A vec Z + B $
Da cui poi poter risalire alla densità del vettore usando la seguente:
$ f_{vec X}(vec x) = f_{vec Z} ^{-1}(A^{-1}(vec x - vec B)) * 1 / |A| $
Sapendo che la matrice di covarianza di (X1, X2) è $ C = A * A^T $ . Tuttavia mi sembra un percorso troppo tortuoso.
Qualche dritta?
Risposte
Il vettore è ancora gaussiano, e le medie sonoledue medie di X1 e X2, e la matrice dicovarianze è la parte di matrice corrispondente alle variabili, ovvero in questo caso il minore di ordine 2 della matrice.
Lo so, ma io devo calcolare la funzione di densità di questo vettore.
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