Vettori aleatori con densità continua uniforme
Ho il seguente esercizio da fare,
Sia \(\displaystyle (X,Y) \) un vettore aleatorio continuo con densità uniforme sul triangolo determinato dai punti \(\displaystyle (0,0), (0,2), (4,0) \)
Determinare la densità delle variabili aleatorie \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) e stabilire se sono indipendenti
Ho che la densità congiunta \(\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{A} \) dove \(\displaystyle A=4 \) è l'area del triangolo le densità marginali sono
\(\displaystyle f(x)=\int_{4-x}^{4}f(x,y)dy=\frac{x}{4} \)
\(\displaystyle f(y)=\int_{2-y}^{2}f(x,y)dx=\frac{y}{4} \)
Che potrebbe sembrare giusto, solo che se vado a calcolarmi la funzione di ripartizione per \(\displaystyle X \) ho \(\displaystyle F_X(4)=2 \) che è assolutamente sbagliato
Sia \(\displaystyle (X,Y) \) un vettore aleatorio continuo con densità uniforme sul triangolo determinato dai punti \(\displaystyle (0,0), (0,2), (4,0) \)
Determinare la densità delle variabili aleatorie \(\displaystyle X \) e \(\displaystyle Y \) e stabilire se sono indipendenti
Ho che la densità congiunta \(\displaystyle f(x,y)=\frac{1}{A} \) dove \(\displaystyle A=4 \) è l'area del triangolo le densità marginali sono
\(\displaystyle f(x)=\int_{4-x}^{4}f(x,y)dy=\frac{x}{4} \)
\(\displaystyle f(y)=\int_{2-y}^{2}f(x,y)dx=\frac{y}{4} \)
Che potrebbe sembrare giusto, solo che se vado a calcolarmi la funzione di ripartizione per \(\displaystyle X \) ho \(\displaystyle F_X(4)=2 \) che è assolutamente sbagliato
Risposte
Stai dicendo che i valori maggiori di $x$ e $y$ sono più probabili di quelli minori?
No, mi viene che la probabilità di \(\displaystyle X\leq4 \) è 2, il che è errato, ma son gli estremi di integrazione ad essere sbagliati, mo li correggo che ho tempo
"Ub4thaan":
No, mi viene che la probabilità di \(\displaystyle X\leq4 \) è 2, il che è errato, ma son gli estremi di integrazione ad essere sbagliati, mo li correggo che ho tempo
No? $f(x)=\frac{x}{4}$ sembra dire esattamente quello.
Infatti correggendo gli estremi per \(\displaystyle X \) cioè
\(\displaystyle f_X(x)=\int_{0}^{2-\frac{x}{2}}\frac{1}{4}ds=\frac{4-x}{8} \)
Mi da \(\displaystyle F_X(4)=\int_{0}^{4}f_X(s)ds=1 \)
Invece per \(\displaystyle Y \) ho
\(\displaystyle f_Y(y)=\int_{0}^{4-2y}\frac{1}{4}ds=\frac{2-y}{2} \)
Infatti \(\displaystyle F_Y(2)=\int_{0}^{2}f_Y(s)ds=1 \)
Il che è corretto, per l'indipendenza delle due basta verificare se \(\displaystyle f_X(x)f_Y(y)=f(x,y) \) che ad occhio è falso
\(\displaystyle f_X(x)=\int_{0}^{2-\frac{x}{2}}\frac{1}{4}ds=\frac{4-x}{8} \)
Mi da \(\displaystyle F_X(4)=\int_{0}^{4}f_X(s)ds=1 \)
Invece per \(\displaystyle Y \) ho
\(\displaystyle f_Y(y)=\int_{0}^{4-2y}\frac{1}{4}ds=\frac{2-y}{2} \)
Infatti \(\displaystyle F_Y(2)=\int_{0}^{2}f_Y(s)ds=1 \)
Il che è corretto, per l'indipendenza delle due basta verificare se \(\displaystyle f_X(x)f_Y(y)=f(x,y) \) che ad occhio è falso
"ghira":
No? $f(x)=\frac{x}{4}$ sembra dire esattamente quello.
Sisi, ma è errato, facevo l'integrale sul triangolo di vertici \(\displaystyle (0,0), (4,0), (0,4) \)
E una delle proprietà della funzione di ripartizione è che è sempre compresa tra 0 e 1, al più uguale
È palese che non sono indipendenti. Se sai che $x=2$, ti dice qualcosa sui valori possibili di $y$ che non è vero a priori.
Supponevo che avesse a che fare con la forma del dominio, perchè infatti sul quadrato si ha l'integrale da 0 a 4 per X e da 0 a 2 per Y
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