Vettore aleatorio continuo con variabili dipendenti

[yankarinRG]

Il vettore aleatorio $(X, Y )$ ha funzione di densità:

$f(x,y)={(kx^2 y,,0≤x≤y≤1),(0,,text(altrove)):}$

[list=1]
[*:9y2r68tm]Determinare $k$[/*:m:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]Determinare le funzioni di ripartizione $F_X$ e $F_Y$[/*:m:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]Calcolare previsione $m_Z$ e varianza $σ_Z^2$ con $Z = X - Y$[/*:m:9y2r68tm][/list:o:9y2r68tm]

Innanzitutto esprimerei il dominio in forma normale rispetto all'asse delle x:
$D={(x,y) in RR^2 : 0≤x≤1, x≤y≤1}$
ottenendo il triangolo in figura:

[list=1]
[*:9y2r68tm]Per determinare $k$, poniamo$\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}f(x,y)dxdy = 1$ ovvero $\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}kx^2 ydydx = 1$
Con qualche semplice calcolo si ottiene $k/15 = 1$ e quindi $k = 15$
La funzione di densità diventa:
$f(x,y)={(15x^2 y,,0≤x≤y≤1),(0,,text(altrove)):}$
[/*:m:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]Per ottenere $F_X$ e $F_Y$ calcolerei prima $f_X$ e $f_Y$:

[*:9y2r68tm]$f_x (x) = \int_{x}^{1}15x^2 ydy = -(15x^4)/2 + (15x^2)/2 text( ) 0≤x≤1$[/*:m:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]$f_y (y) = \int_{0}^{y}15x^2 ydx = 5y^4 text( ) 0≤y≤1$[/*:m:9y2r68tm][/list:u:9y2r68tm]
Adesso possiamo calcolare $F_X(x)$ e $F_Y(y)$:


[*:9y2r68tm]$F_X (x)={(0,,x<0),(\int_{0}^{x}-(15t^4)/2 + (15t^2)/2 dt,,0≤x≤1),(1,,x>1):}$
$F_X (x)={(0,,x<0),(-(3x^5)/2 + (5x^3)/2,,0≤x≤1),(1,,x>1):}$[/*:m:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]$F_Y (y)={(0,,y<0),(\int_{0}^{y}5t^4 dt,,0≤y≤1),(1,,y>1):}$
$F_Y (y)={(0,,y<0),(y^5,,0≤y≤1),(1,,y>1):}$[/*:m:9y2r68tm][/list:u:9y2r68tm][/*:m:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]$m_Z=E(Z)=E(X-Y)=\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}(x-y)f(x,y)dxdy=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(x-y)15x^2 ydydx=-5/24$[/*:m:9y2r68tm]
[*:9y2r68tm]$σ_Z^2=Var(Z)=Var(X-Y)=E((X-Y)^2) - (E(X-Y))^2=$
$=\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}(x-y)^2f(x,y)dxdy-(\int_{-oo}^{+oo}\int_{-oo}^{+oo}(x-y)f(x,y)dxdy)^2=$
$=\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(x-y)^2 15x^2 ydydx - (\int_{0}^{1}\int_{x}^{1}(x-y)15x^2 ydydx)^2 = 113/4032$[/*:m:9y2r68tm][/list:u:9y2r68tm][/*:m:9y2r68tm][/list:o:9y2r68tm]

Che ne pensate, è corretto? I miei dubbi riguardano, quando $X$ e $Y$ sono dipendenti come in questo caso, come ottenere gli estremi di integrazione corretti, soprattutto per le marginali. Spero che questo esercizio possa essere utile a qualcun altro.

[Lo_zio_Tom]

Mi pare tutto corretto, anche se non ho controllato tutti i conti...quello puoi farlo da te.

Le marginali sono state calcolate bene. Gli estremi di integrazione corretti si vedono immediatamente dal dominio della congiunta: $0
Si vede subito che la x varia da 0 a y mentre la y da x a 1....è scritto nel testo!

Per la media di Z c'è una strada molto più breve

$E(X-Y)=E(X)-E(Y)= 15/8-15/12-5/6=-5/24$

Fai conto che l'ho calcolata a mente, data la semplicità delle due marginali...

Per la varianza invece si può fare così:

$V(X-Y)=V(X)+V(Y)-2cov(X,Y)$

Non ho fatto i conti ma alla fine mi sa che siamo lì, non è che si risparmi molto.

Quindi direi ok, bravo

Sul forum ce ne sono di molto più interessanti...ad esempio questo

Se sei interessato posso indicartene altri[nota]anzi li puoi cercare direttamente tu con la funzione cerca[/nota].. come pure potresti calcolare la distribuzione di Z nel tuo esercizio (Non ho provato a farla e quindi spero non vengano conti troppo complicati)

Ps: hai fatto un grosso lavoro mettendo tutti i passaggi e sarà sicuramente utile ad altri utenti

[yankarinRG]

Grazie @tommik per la tua onnipresenza
Menomale che più o meno è tornato... innanzitutto ho corretto l'errore grammaticale
Si, applicando le proprietà di valore atteso e varianza in effetti si fa prima. Ho provato a dare un'occhiata al link ma credo sia qualcosa che non abbiamo mai affrontato e non saprei dove mettere le mani...

Ps: hai fatto un grosso lavoro mettendo tutti i passaggi e sarà sicuramente utile ad altri utenti

Sono molto felice, sia perché personalmente ho la conferma che il mio modus operandi sia corretto, sia per altre persone che non dovranno chiedere aiuto per esercizi simili