Vettore Aleatorio

[IngMarcon]

Buondi,
Ho dei piccoli dubbi su delle questioni...
$ f(x,y)={ ( kx^2y rarr (x,y)in T),(0 rarr (x,y)notin T ):} $
essendo T il triangolo di vertici (0,0),(0,2),(1,0).
Determinare la costante k e la densità marginale di X e la funzione di ripartizione di Y. Calcolare cov(X,Y) e la probabilità p che Y sia minore di X supposto che Y $ <= $ 1

Io ho trovato k facendo l'integrale su tutto T in questo modo
$ int_(0)^(1) int_(0)^(2-2x)(kx^2y) dy dx $ e arrivo alla conclusione che k = 15
poi le marginali della x e y cosi
$ f_x (x)=int_(0)^(2-2x)(15x^2y) dy = 15/2*x^2(2-2x)^2 $
$ f_y (y)=int_(0)^(1)(15x^2y) dx =15/3y $
per la funzione di ripartizione di Y $ F_y (y)=int_(0)^(y)(15/3y)dy=15/3*y^2/2 $
ora per la cov(x,y)= E(x*y)-E(x)*E(y) ho fatto cosi
$ E(X*Y) = int_(0)^(1) int_(0)^(2-2x)x*y(15x^2y) dy dx = 2/7 $
poi i problemi li ho qui
$ E(X) = int_(0)^(1) x*(f_x(x))dx=1/2 $
e poi invece per il valore atteso della y non saprei dove integrare... poi vorrei sapere anche se ho fatto giusto fino ad ora,
vi rinagrazio da morire per la pazienza e la mano che ci date .

[Lo_zio_Tom]

dunque

$k=15$ ok

$f(x)$ ok con $x in [0;1]$

$f(y) $ no. Hai integrato su un rettangolo....ed infatti se provi non ti somma ad uno sul dominio di y


$f(y)=int_(0)^((2-y)/2)15 x^2ydx=5y((2-y)/2)^3I_([0;2])(y)$

se provi ad integrare questa sì che fa uno......

[Lo_zio_Tom]

$E[XY]$ va bene (non ho controllato il risultato dell'integrale)

$E[X]$ ok

$E[Y]$ una volta calcolata correttamente $f(y)$ per trovare la media integri su tutto il dominio di Y, ovvero

$E[Y]=int_(0)^(2)5y^2((2-y)/2)^3dy=...=2/3$

volendo avresti potuto ricavare le medie direttamente dalla $f(x,y)$, integrando su tutto il dominio bivariato (come hai fatto per trovare k) ma moltiplicando l'integranda per x oppure per y, rispettivamente.....

Per la FdR di Y sono solo calcoli...basta fare $int_(0)^(y)f_Y(t)dt$....dovresti far tutto da solo, io non ho tempo[nota]al di là dell'errore, quando fai questi conti dovresti fare anche una controprova.....a conti fatti dovrai avere $F_Y(0)=0$ e $F_Y(2)=1$ mentre a te viene $F(2)=10$[/nota].


Per la probabiltà condizionata devi integrare qui:

Click sull'immagine per visualizzare l'originale

...e se integri in y-semplice non devi nemmeno spezzare l'integrale.
[size=150]

$P(Y[/size]

Il tutto va poi diviso per $P(Y<1)$ al fine di trovare la probabilità condizionata richiesta che, a conti fatti, salvo errori ed omissioni, mi viene circa 0.501

ciao ciao

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[IngMarcon]

ti ringrazio davvero tantissimo... sei un salvatore, ora guardo tutto