Verosimiglianza di geometrica

[Walter97lor]

Buongiorno,
Posto questo esercizio mi da alcuni grattacapi
In un esperimento industriale, ciascuno dei $50$ esemplari di plastica viene ripetutamente colpito con un martello fino alla rottura.
Sia $y_i$ una variabile aleatoria che conta il numero di colpi effettuati su ciascun esemplare di plastica e si assuma che la probabilità che il vetro si rompa sia costante pari a $pi$ indipendentemente dal numero di colpi già dati.

a) Posto che dei $50$ esemplari; $18$ si rompono al primo colpo, $12$ al secondo, $10$ al terzo; i restanti $10$ esemplari necessitano di più di 3 colpi.
Si calcoli la funzione di verosimiglianza per $pi$ e si dia la stima di massima verosimiglianza.

E' evidente che:

$ y_i ~ Geo(pi) $

Quindi in generale varrà:

$ L(pi) = pi^n*(1-pi)^(nbar(y)-n) $

Dunque:

$ hat(pi) =1/bar(Y) $

Il problema sta nel fatto che ho le informazioni riguardo ai colpi necessari alla rottura, con le relative frequenze, come devono essere inseriti nella funzione di verosimiglianza tali informazioni?
Grazie a tutti.

[Lo_zio_Tom]

"Walter97lor":
a) Posto che dei $50$ esemplari; $18$ si rompono al primo colpo, $12$ al secondo, $10$ al terzo; i restanti $10$ esemplari necessitano di più di 4 colpi.

beh strano è strano....

18 si rompono al primo colpo
12 si rompono al secondo colpo
10 al terzo
10 restanti con 5 o più colpi

nessuno che si rompe al 4? tutto può essere eh.....sia chiaro

i dati delle frequenze servono proprio per avere la stima di massima verosimiglianza...non lo stimatore, la stima

EDIT:
i calcoli sono giusti, devi solo calcolare quanti colpi hai dato nel tuo campione:

$18 xx 1+12xx2+10xx3+10xx m$

non mi sembra un grossissimo problema calcolare quanti colpi hanno richiesto (mediamente) i 10 esemplari che si rompono con 4 o più colpi

$m=sum_(x=4)^(oo)pq^(x-4)x=pq^(-3)sum_(x=4)^(oo)xq^(x-1)=pq^(-3)sum_(x=4)^(oo)d/(dq)q^x=$

$=pq^(-3)d/(dq)sum_(x=4)^(oo)q^x=pq^(-3)d/(dq)q^4/(1-q)=pq^(-3)(4q^3(1-q)+q^4)/p^2=(3p+1)/p=3+1/p$

dove ovviamente ho indicato $q=1-p$

Risultato peraltro intuitivo per cone è costruita la variabile dei pezzi che si rompono dopo più di 3 martellate:

$X=3+Y$

$E[X]=3+E[Y]=3+1/p$

A conti fatti ottieni $pi=0.392$ che significa mediamente $2,55$ martellate a pezzo che mi sembra una stima sensata, IMHO

[Walter97lor]

Errore di scrittura, più di $3$ colpi.

[Walter97lor]

Grazie Tommik per aver risposto.
Il dubbio che mi è venuto è relativo alla scrittura della funzione di verosimiglianza in quanto, nel testo dell'esercitazione veniva esplicitamente detto di scrivere la funzione di verosimiglianza e log verosimiglianza basandosi sulle informazioni delle frequenze annotando anche, come suggerimento, lo sviluppo: $(1-x^3)=1-3x+3x^2-x^3$.
Quindi non riesco a capire se la funzione di verosimiglianza generale che ho scritto vada bene effettivamente per risolvere l'esercizio, oppure se serva "adattarla" in qualche modo, tipo:

$L(pi)=P(y_1=1;pi)* P(y_2=2;pi)*P(y_3=3;pi)*P(y_i>3;pi)$ con $i=4,...,n$

Non so se mi sono spiegato