Verosimiglianza

[Valelav90]

ciao, ho bisogno di una mano per un esame di inferenza statistica di cui non riesco a capire . devo risolvere il seguente esercizio:
Esercizio 1
Il tempo di download (in secondi) per caricare la pagina web della facoltà di economia segue una distribuzione x ~n(eta,1)
QUESITI TEORICI
- scrivere la funzione di densità di probabilità della v.c. X
- scrivere la funzione di verosimiglianza per un generico campione di n osservazioni
- derivare analiticamente la stima di massima verosimiglianza per il parametro eta
- derivare analiticamente l'informazione osservata di fisher
QUESITI PRATICI
1) il tempo in secondi per il download della pagina web della facoltà di economia per un campione di 10 accessi nella giornata del 9 febbraio 2011 è stato di
3.3 4.7 5.2 4.9 3.9 4.4 4.8 3.8 5.3 5.7
Costruire e rappresentare la funzione di verosimiglianza (o di log-verosimiglianza)per tale campione di osservazioni
2) il tempo in secondi per il download della pagina web della facoltà di economia per un campione di 20 accessi nella giornata del 10 febbraio 2011 è stato di
2.6 4.1 4.0 5.9 4.4 3.2 4.8 5.6 4.6 6.0
5.3 4.5 5.4 3.6 4.4 3.8 5.9 5.3 3.2 5.4
Costruire e rappresentare la funzione di verosimiglianza (o di log verosimiglianza) per tale campione di osservazioni
3) rappresentare congiuntamente sullo stesso grafico le due funzioni di verosimiglianza (o di log-verosimiglianza)relative ai campioni riportati al punto 1 e al punto 2.
4a) quanto vale la stima di massima verosimiglianza per il parametro eta nel caso del primo campione e nel caso del secondo campione?
Commentare brevemente i risultati
4b) quanto vale l'informazione osservata nel caso del primo campione e nel caso del secondo campione?
Commentare brevemente i risultati
Ho risolto i primi punti pratici con R nel seguente modo. Chi mi aiuta a fare gl'altri punti?

#funzione di verosimiglianza per il modello normale
#che prende in input:
# - mu : valore medio
# - sigma2 : varianza
# - campione : campione osservato
verosimNormale <- function(mu, sigma2, campione){
n <- length(campione)
fattore1 <- (2 * pi * sigma2) ^ (-(n/2))
fattore2 <- exp(-1/(2*sigma2) * sum((campione - mu)^2))
fattore1 * fattore2
}
#campione di 10 osservazioni estratto da una variabile casuale normale
campioneOsservato <- c(3.3,4.7,5.2,4.9,3.9,4.4,4.8,3.8,5.3,5.7)
verosimNormale(mean(campioneOsservato), 1, campioneOsservato)
#costruisco un vettore di valori per mu su cui valutare la funzione di verosimiglianza
ascisseMu <- seq(2, 6, by=0.1)
#calcolo la funzione di verosimiglianza
verosimNormaleVec <- Vectorize(verosimNormale, vectorize.args=c("mu","sigma2"))
ordinate <- verosimNormaleVec(ascisseMu, 1, campioneOsservato)
#normalizzo la funzione di verosimiglianza
ordinate <- ordinate / max(ordinate)
#e la rappresento graficamente
plot(ascisseMu, ordinate, type="l",xlab=expression(mu), ylab=expression(paste("L(",mu,")")))
#costruisco il secondo campione ha la stessa media del campione precedente
campione2 <- c(2.6,4.1,4.0,5.9,4.4,3.2,4.8,5.6,4.6,6.0,5.3,4.5,5.4,3.6,4.4,3.8,5.9,5.3,3.2,5.4)
#calcolo e normalizzo la funzione di verosimiglianza relativa al secondo campione
ordinate2 <- verosimNormaleVec(ascisseMu, 1, campione2)
ordinate2 <- ordinate2 / max(ordinate2)
#e la rappresento sul grafico usando una linea di colore rosso
lines(ascisseMu, ordinate2, col="red")
#aggiungo una legenda al grafico
legend("topright",c("n = 10","n = 20"),col=c(1,2),pch=15)

[Valelav90]

Mi mancano i quesiti teorici e i punti 4a e 4b

[niandra82]

Mi pare esagerato pretendere che qualcuno ti risolva l'esercizio
Facci vedere dove ti blocchi, proponi una soluzione o chiariscici i tuoi dubbi, solo così puoi sperare di ricevere aiuto

[Valelav90]

io non sono sicura di quello che ho fatto, non ho solo un dubbio per il quale mi blocco.
comunque se io per i quesiti teorici ho inteso queste risposte puoi aiutarmi tu nel dirmi se sono giuste?
funzione di densità della variabile casuale x N(\theta ,1)
$ f(x)=1/(sigma*RADICE(2*\pi))*e^(-1/2*((x-mu)/sigma)^2) $
la funazione di verosimiglianza per un generico campione di N osservazioni
$ L(x)= (2*pi*sigma^2)^-(n/2)*-e^(-1/(2*sigma^2)*sum(x-mu)^2) $
la stima di max verosimiglianza per il parametro \theta e quivale a $ 1/n*sum(( xi)) $
l'informazione di Fisher equivale alla derivata seconda della funzione di log-verosimiglianza?

[Andrea2976]

Ciao Vale,
se parti dall'assunto che $X$ è $N(\theta,1)$ allora poni $\mu=\theta$ e $\sigma=1$.
La funzione di verosimiglianza la devi adeguare allo stesso modo, di solito si considera il logaritmo in modo da semplificare i calcoli per il calcolo dello stimatore (queste cose le trovi scritte anche su wikipedia...).
Lo stimatore scritto da te è incomprensibile per chi dovesse leggere senza sapere già la risposta.
Ammesso che tu abbia trovato lo stimatore, basta sostituire i valori del campione e vedere quanto vale lo stimatore nei due casi.
Per l'informazione di fisher basta guardare la definizione, se proprio sei in difficoltà con i libri vedi pure http://it.wikipedia.org/wiki/Informazione_di_Fisher.
Andrea

[Valelav90]

Grazie mille!! Molto gentile
Sai per caso se esistono dei software specifici che calcolano verosimiglianza, Informazione di Fisher, Max verosimiglianza e altre informazioni simili? oltre R..