Verifica non distorsione di uno stimatore di max-verosomiglianza
Ciao,
ho una variabile X che si distribuisce come una normale con media e varianza pari a $\lambda$.
Ho trovato che lo stimatore di max-verosomiglianza per $\lambda$ è
$$\hat{\lambda}=\frac{-1+\sqrt{1+4\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}}{2}$$
Adesso devo verificare che è non distorto e quindi calcolare il valore atteso.
Ma sta cosa è possibile?
Anche sfruttando le proprietà del valore atteso non ne vengo a capo visto che c'è quella radice alquanto fastidiosa.
ho una variabile X che si distribuisce come una normale con media e varianza pari a $\lambda$.
Ho trovato che lo stimatore di max-verosomiglianza per $\lambda$ è
$$\hat{\lambda}=\frac{-1+\sqrt{1+4\frac{x_1^2+\dots +x_n^2}{n}}}{2}$$
Adesso devo verificare che è non distorto e quindi calcolare il valore atteso.
Ma sta cosa è possibile?
Anche sfruttando le proprietà del valore atteso non ne vengo a capo visto che c'è quella radice alquanto fastidiosa.
Risposte
Prima di tutto si chiama "verosimiglianza" e non "verosomiglianza"
Certo che è possibile... anche se prevedo parecchi conti.
Ciò che è fastidioso non è la radice ma quella somma delle x al quadrato...
Lasciando perdere le costanti, il nucleo del problema è calcolare la media di $sqrt(1+4/n Sigma_i X_i^2)$ che implica conoscerne la distribuzione. Il primo passo è porre $Y=X/sqrt(lambda)$ osservando subito che $Y~N(sqrt(lambda);1)$ ovvero le $Y_i$ sono tutte delle normali ridotte iid.
A questo punto sappiamo qual è la distribuzione di $W=Sigma_iY_i^2$; è una chi quadro non centrale. Conoscendo tale distribuzione possiamo calcolare $E[sqrt(1+(4lambda)/nW)]$ tramite la definizione:
Questa è l'unica idea che mi è venuta in mente, anche se i conti mi sembrano decisamente complicati.
Se è un esercizio che ti hanno assegnato un modo di risolverlo ci sarà, probabilmente esisterà qualche accrocchio per semplificare i conti....ma bisogna pensarci.
Certo che è possibile... anche se prevedo parecchi conti.
Ciò che è fastidioso non è la radice ma quella somma delle x al quadrato...
Lasciando perdere le costanti, il nucleo del problema è calcolare la media di $sqrt(1+4/n Sigma_i X_i^2)$ che implica conoscerne la distribuzione. Il primo passo è porre $Y=X/sqrt(lambda)$ osservando subito che $Y~N(sqrt(lambda);1)$ ovvero le $Y_i$ sono tutte delle normali ridotte iid.
A questo punto sappiamo qual è la distribuzione di $W=Sigma_iY_i^2$; è una chi quadro non centrale. Conoscendo tale distribuzione possiamo calcolare $E[sqrt(1+(4lambda)/nW)]$ tramite la definizione:
$E[g(W)]=int_(mathcal(D)) g(w)dF_W(w)$
Questa è l'unica idea che mi è venuta in mente, anche se i conti mi sembrano decisamente complicati.
Se è un esercizio che ti hanno assegnato un modo di risolverlo ci sarà, probabilmente esisterà qualche accrocchio per semplificare i conti....ma bisogna pensarci.
Si alquanto complicato. Ma ci mediterò su. Grazie!
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