Verifica Indipendenza tra Variabili Aleatorie

[arsmth]

Salve a tutti ragazzi,
sto cercando di risolvere il seguente esercizio:

X e Y sono v.a. Gaussiane e indipendenti, a media nulla e varianza unitaria.
Si stabilisca se le v.a. Z=X+Y e V=X-Y sono indipendenti.

sono partito dalla definizione:
per verificare l'indipendenza tra Z e V dovrei controllare se la densità di probabilità(ddp) congiunta di (z,v) è pari al prodotto delle densità di probabilità marginali:
$f_(zv)(z,v) = f_z(z)f_v(v)$

L'esercizio non mi fornisce la ddp congiunta e quindi anche calcolando le ddp marginali non saprei come effettuare l'uguaglianza.

sfruttando il th dell'aspettazione e il fatto che le variabili aleatorie che contribuiscono alla trasformazione di Z e V sono indipendinti, ho provato a verificare ciò: (ma non sono sicuro che sia corretto, visto che non trovo la dimostrazione):
$E{g(x,y)f(x,y)} = E{g(x,y)}E{f(x,y)}$
con
$g(x,y)= X+Y$ e $f(x,y)=X-Y$

spero che qualcuno possa aiutarmi a capire come procedere a risolvere questa tipologia di esercizi.
Grazie mille!

[Lo_zio_Tom]

Ciao Arsmth. Intanto benvenuto e complimenti per il topic, inserito correttamente e con le formule ben scritte.

Ecco il suggerimento:

in generale l'indipendenza stocastica implica incorrelazione, ma non vale il viceversa....a meno che il modello non sia Gaussiano

quindi...l'intuizione che hai avuto sul calcolo dei valori attesi è corretta e bastano un paio di passaggini algebrici per risolvere l'esercizio

[arsmth]

Grazie mille tommik! Sia per il benvenuto che per l'aiuto dato.
Quindi se ho capito bene, posso affermare che, solo nel caso di due variabili gaussiane, la non correlazione implica l'indipendenza?