Verifica disuguaglianza

[°Dan89°12]

Ciao ragazzi,

un'esercizio mi chiede di verificare se la seguente disuguaglianza sia vera o falsa. Data una variabile casuale $X$ con valore atteso $E(X)$ finito, verificare se:

$E(|X|)\leq1+E(X^2)$

La soluzione che propongo io è la seguente:
Se $X>0$, è sufficiente verificare se:

$X\leq1+X^2$
$X^2-X+1\geq0$
Quella scritta una parabola che è minima per $X=1/2$, dove vale $0,75$. Dunque, passando ai valori attesi:
$E(X)\leqE(1+X^2)$
$E(X)\leqE(1)+E(X^2)$
$E(X)\leq1+E(X^2)$

Per $X<0$ il discorso è analogo, dovendo però partire dall'equazione $-X\leq1+X^2$.

Vi torna come possibile soluzione? Il mio dubbio è principalmente legato alla possibilità di "passare ai valori medi" senza nessuna controindicazione. Daltronde inizialmente sto trattando le X come variabili algebriche incognite, non come variabili casuali...

[Lo_zio_Tom]

I dubbi che ti poni sono leciti ma la questione va risolta con argomentazioni statistiche solide.

Per risolvere la questione in pochi passaggi, io ti propongo di fare così:

Poni

$g_1(X)=|X|-1$

$g_2(X)=X^2$

ovviamente (basta fare un grafico per rendersene conto)

$g_2(X)>g_1(X) ", " AAx$

e quindi

$E[g_2(X)-g_1(X)]=E[g_2(X)]-E[g_1(X)]>0$

Sostituendo trovi

$E[X^2]>E[|X|]-1$

ovvero riordinando gli addendi

$E[|X|]

cvd

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[°Dan89°12]

Grazie! Ciò che mi frenava nell'utilizzare la $X$ come v.c. era il pensiero che in realtà

$X^2 > |X|-1$

non fosse sempre verà, nel senso che per effetto della varianza la quantità a sinistra potesse assumere valori anche minori della quantità a destra. Ed è effettivamente possibile, nel senso che per esempio (numeri a caso) la quantità a sinistra potrebbe assumere valori fra 0 e 100, mentre quella a sinistra fra -1 e 9

Quindi la quantità a sinistra potrebbe essere minore di quella a destra, però questo non potrebbe accadere per la stessa $x$ data. Nel senso che, data una certa $x$ questa determina contemporaneamente il valore della quantità a destra e di quella a sinistra, ed in tal caso la disuguaglianza è sempre verificata.

Tutto giusto?