Verifica dimostrazione densità discreta
Ciao a tutti, vi riporto un esercizio che ho risolto, ma non sono certo sia il metodo corretto, se qualcuno riuscisse a dirmi se ho preso la strada giusta o sbagliata ve ne sarei grato.
Testo:
siano $X$ e $Y$ due v.a. discrete e sia $λ > 0$, allora verifica che $f(h, k) := e^(−2λ)/(2λ)*((h+k)λ^(h+k))/(h!k!)$, $ h, k ≥ 1$ definisce
una densità discreta;
Vi mostro di seguito il mio ragionamento.
Se $f(h,k)$ definisce una densità, $ rArr sum_(h,k>=1)^oo f(h,k) =1 $
Prendo la funzione $f$ e la riscrivo in forma più bella
$f(h,k) = (h+k)/(2lambda) * (e^(-λ)*λ^h)/(h!) * (e^(-λ)*λ^k)/(k!) $
Si può già notare che sono presenti due distribuzioni di poisson
quindi chiamo $X~ Po(lambda)$ , $rho_X(h) = (e^(-λ)*λ^h)/(h!) $ e $Y ~ Po(lambda)$, $rho_Y(k) = (e^(-λ)*λ^k)/(k!) $
rispettive V.A. e densità.
Unisco sommatoria e funzione così riscritta
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2lambda)*rho_X(h)*rho_Y(k) =1 $
Ora, $rArr sum_(h,k>=1)^oo rho_X(h)*rho_Y(k) =1 $ Per definizione di densità questo è rispettato, manca solo da verificare
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2lambda) = 1$
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2) = lambda$
segue che $ (h+k)/(2) = lambda$ . Ora non capisco se ho concluso o meno, ho dimostrato che $f$ è densità se vengono rispettate determinate condizioni che nel testo non vengono enunciate
la mia idea è 1- $f : (X,Y) -> (X+Y)/2$ , $(h,k) ->(h+k)/2$ quindi f è densità, $rArr$ vero
2- Per determinati valori di h e k , f non assume valori discreti
esempio se $h=2$, $k=3$,$lambda=2,5$
$rArr$ f è densità ma non discreta $rArr$ falso
Testo:
siano $X$ e $Y$ due v.a. discrete e sia $λ > 0$, allora verifica che $f(h, k) := e^(−2λ)/(2λ)*((h+k)λ^(h+k))/(h!k!)$, $ h, k ≥ 1$ definisce
una densità discreta;
Vi mostro di seguito il mio ragionamento.
Se $f(h,k)$ definisce una densità, $ rArr sum_(h,k>=1)^oo f(h,k) =1 $
Prendo la funzione $f$ e la riscrivo in forma più bella
$f(h,k) = (h+k)/(2lambda) * (e^(-λ)*λ^h)/(h!) * (e^(-λ)*λ^k)/(k!) $
Si può già notare che sono presenti due distribuzioni di poisson
quindi chiamo $X~ Po(lambda)$ , $rho_X(h) = (e^(-λ)*λ^h)/(h!) $ e $Y ~ Po(lambda)$, $rho_Y(k) = (e^(-λ)*λ^k)/(k!) $
rispettive V.A. e densità.
Unisco sommatoria e funzione così riscritta
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2lambda)*rho_X(h)*rho_Y(k) =1 $
Ora, $rArr sum_(h,k>=1)^oo rho_X(h)*rho_Y(k) =1 $ Per definizione di densità questo è rispettato, manca solo da verificare
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2lambda) = 1$
$ rArr sum_(h,k>=1)^oo (h+k)/(2) = lambda$
segue che $ (h+k)/(2) = lambda$ . Ora non capisco se ho concluso o meno, ho dimostrato che $f$ è densità se vengono rispettate determinate condizioni che nel testo non vengono enunciate
la mia idea è 1- $f : (X,Y) -> (X+Y)/2$ , $(h,k) ->(h+k)/2$ quindi f è densità, $rArr$ vero
2- Per determinati valori di h e k , f non assume valori discreti
esempio se $h=2$, $k=3$,$lambda=2,5$
$rArr$ f è densità ma non discreta $rArr$ falso
Risposte
Il testo è sbagliato
Quindi non è vero che la $f$ è una densità discreta. Perché ciò sia vero è necessario che $h,k>=0$
invece con il testo postato la doppia somma viene $1-e^(-lambda)$
Infatti:
$1/(2lambda) sum_(x=1)^(oo)sum_(y=1)^(oo)(x+y)(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)=1/(2lambda) sum_(x=1)^(oo)sum_(y=1)^(oo)[x(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+y(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)]=$
$=1/(2lambda)[sum_(x=1)^(oo)x(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)sum_(y=1)^(oo)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+sum_(x=1)^(oo)(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)sum_(y=1)^(oo)y(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)]=$
$=(lambda(1-e^(-lambda))+lambda(1-e^(-lambda)))/(2lambda)=1-e^(-lambda)$
...per farla diventare una pmf su quel supporto occorre normalizzarla diversamente
Infine, aldilà della soluzione, per tua conoscenza, molti dei passaggi algebrici che hai fatto non sono leciti.
Quindi non è vero che la $f$ è una densità discreta. Perché ciò sia vero è necessario che $h,k>=0$
invece con il testo postato la doppia somma viene $1-e^(-lambda)$
Infatti:
$1/(2lambda) sum_(x=1)^(oo)sum_(y=1)^(oo)(x+y)(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)=1/(2lambda) sum_(x=1)^(oo)sum_(y=1)^(oo)[x(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+y(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)]=$
$=1/(2lambda)[sum_(x=1)^(oo)x(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)sum_(y=1)^(oo)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+sum_(x=1)^(oo)(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)sum_(y=1)^(oo)y(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)]=$
$=(lambda(1-e^(-lambda))+lambda(1-e^(-lambda)))/(2lambda)=1-e^(-lambda)$
...per farla diventare una pmf su quel supporto occorre normalizzarla diversamente
Infine, aldilà della soluzione, per tua conoscenza, molti dei passaggi algebrici che hai fatto non sono leciti.
ok, ho capito dove ho sbagliato, solo una domanda
questo passaggio qua lo vedi a mente? perchè per verificarlo ho dovuto sciogliere le sommatorie per scalare gli indici, aggiungere il resto dell'indice nullo. Ma ci ho messo un po', da come lo scrivi te sembra debba essere immediato a vista
"tommik":
$ =1/(2lambda)[sum_(x=1)^(oo)x(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)sum_(y=1)^(oo)(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)+sum_(x=1)^(oo)(e^(-lambda)lambda^x)/(x!)sum_(y=1)^(oo)y(e^(-lambda)lambda^y)/(y!)]= $
$ =(lambda(1-e^(-lambda))+lambda(1-e^(-lambda)))/(2lambda)=1-e^(-lambda) $
questo passaggio qua lo vedi a mente? perchè per verificarlo ho dovuto sciogliere le sommatorie per scalare gli indici, aggiungere il resto dell'indice nullo. Ma ci ho messo un po', da come lo scrivi te sembra debba essere immediato a vista
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