V.c. gaussiana
Buongiorno a tutti,
potreste aiutarmi a capire le varie operazioni sulla funzione di densità della vc gaussiana?
1) utilizzando la funzione Gamma si può dimostrare che la funzione è non negativa e il suo integrale vale 1.
$ w=(x-alpha )^2/2beta ^2rarr x=alpha +w^(1/2)beta sqrt(2) rarr dx=w^(-1/2)beta /sqrt2 dw $
di questa non mi è chiaro lo sviluppo di x=a+w^(1/2)..... e dx=w^(-1/2)--------
2)l'integrale su R della f(x) diventa:
$ int_(-oo )^(oo)1/(sqrt(2pibeta^2))e^[-1/2(x-a)^2/beta^2] dx $ = $ 2int_(0 )^(oo)1/(sqrt(2pibeta^2))e^[-1/2(x-a)^2/beta^2] dx $ = $ 2/[betasqrt2pi] int_(0 )^(oo)e(-w)w^(-1/2) beta/sqrt2 dw $ = $ 1 $
di questo non ho capito proprio i vari passaggi nello svolgimento dell'integrale
potreste aiutarmi a capire le varie operazioni sulla funzione di densità della vc gaussiana?
1) utilizzando la funzione Gamma si può dimostrare che la funzione è non negativa e il suo integrale vale 1.
$ w=(x-alpha )^2/2beta ^2rarr x=alpha +w^(1/2)beta sqrt(2) rarr dx=w^(-1/2)beta /sqrt2 dw $
di questa non mi è chiaro lo sviluppo di x=a+w^(1/2)..... e dx=w^(-1/2)--------
2)l'integrale su R della f(x) diventa:
$ int_(-oo )^(oo)1/(sqrt(2pibeta^2))e^[-1/2(x-a)^2/beta^2] dx $ = $ 2int_(0 )^(oo)1/(sqrt(2pibeta^2))e^[-1/2(x-a)^2/beta^2] dx $ = $ 2/[betasqrt2pi] int_(0 )^(oo)e(-w)w^(-1/2) beta/sqrt2 dw $ = $ 1 $
di questo non ho capito proprio i vari passaggi nello svolgimento dell'integrale
Risposte
Sono passaggi davvero elementari.
L'integrale in questione lo risolve sfruttando la gamma di Eulero (sfruttando il risultato noto $Gamma (1/2)=sqrt (pi) $)[nota]che dovresti anche saper dimostrare se sei uno studente di Statistica, dato che è una dimostrazione di base.[/nota]
$Gamma (alpha)=int _(0)^(+oo)x^(alpha-1)e^(-x)dx $
...e sfruttando le proprietà di simmetria della normale standard per cui
$int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=2int_(0)^(+oo)f(x)dx$
Il resto è soltanto un cambio di variabile nell'integrale (sono calcoli da liceo) ma hai scritto male la variabile.
La variabile corretta è questa
$w=(x-a)^2/(2beta^2)$, $x>a $
Considera infatti che devi calcolare
$int_(-oo)^(+oo)1/(betasqrt (2pi))e^(-1/(2beta^2)(x-a)^2)dx =2int_(a)^(+oo)1/(betasqrt(2pi))e^(-1/(2beta^2)(x-a)^2)dx $
Ora, facendo il cambio di variabile come proposto (e come dovresti saper fare conoscendo il metodo di integrazione per sostituzione) arrivi subito al risultato richiesto
Fammi sapere se è chiaro
Ciao
L'integrale in questione lo risolve sfruttando la gamma di Eulero (sfruttando il risultato noto $Gamma (1/2)=sqrt (pi) $)[nota]che dovresti anche saper dimostrare se sei uno studente di Statistica, dato che è una dimostrazione di base.[/nota]
$Gamma (alpha)=int _(0)^(+oo)x^(alpha-1)e^(-x)dx $
...e sfruttando le proprietà di simmetria della normale standard per cui
$int_(-oo)^(+oo)f(x)dx=2int_(0)^(+oo)f(x)dx$
Il resto è soltanto un cambio di variabile nell'integrale (sono calcoli da liceo) ma hai scritto male la variabile.
La variabile corretta è questa
$w=(x-a)^2/(2beta^2)$, $x>a $
Considera infatti che devi calcolare
$int_(-oo)^(+oo)1/(betasqrt (2pi))e^(-1/(2beta^2)(x-a)^2)dx =2int_(a)^(+oo)1/(betasqrt(2pi))e^(-1/(2beta^2)(x-a)^2)dx $
Ora, facendo il cambio di variabile come proposto (e come dovresti saper fare conoscendo il metodo di integrazione per sostituzione) arrivi subito al risultato richiesto
Fammi sapere se è chiaro
Ciao
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