Varianza media campionaria
Ciao a tutti e grazie in anticipo del vostro tempo.
Scrivo per un dubbio riguardo la varianza della media campionaria.Ho capito il fatto che la media campionaria è uno stimatore non distorto perché se facciamo la media di tutte le medie campionarie (di tutti i possibili campioni) è uguale alla media della popolazione. Ho anche visto con esempi numerici che la varianza campionaria (calcolata facendo gli scarti tra le varie medie campionarie e la media della popolazione) è uguale a (sigma^2)/n. Il problema è che nonostante ho capito i passaggi algebrici per arrivare a (sigma^2)/n [da Var(Xbarrato)], non riesco a capire perché è uguale alla varianza della popolazione diviso l'ampiezza campionaria. Non capisco il perché di quei passaggi.
Spero riusciate a capirmi, grazie.
Scrivo per un dubbio riguardo la varianza della media campionaria.Ho capito il fatto che la media campionaria è uno stimatore non distorto perché se facciamo la media di tutte le medie campionarie (di tutti i possibili campioni) è uguale alla media della popolazione. Ho anche visto con esempi numerici che la varianza campionaria (calcolata facendo gli scarti tra le varie medie campionarie e la media della popolazione) è uguale a (sigma^2)/n. Il problema è che nonostante ho capito i passaggi algebrici per arrivare a (sigma^2)/n [da Var(Xbarrato)], non riesco a capire perché è uguale alla varianza della popolazione diviso l'ampiezza campionaria. Non capisco il perché di quei passaggi.
Spero riusciate a capirmi, grazie.
Risposte
Certo che abbiamo capito....però se scrivessi le [formule][/formule] come prescritto sarebbe meglio....
Devi calcolare questo
$V[(X_1+...+X_n)/n]$
intanto sai che per note proprietà $V(aX)=a^2V(X)$ e $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ (il campione è casuale)...e se non lo sai studiatelo....
Poi sai che ogni $X_i$ è a sua volta una variabile con la stessa distribuzione di X (della popolazione)....quindi tutte le $X_i$ hanno la stessa varianza $sigma^2$
....in fin dei conti avrai che $V[bar(X)]=1/n^2xxnsigma^2=sigma^2/n$
Il "perché" sta nel fatto che andando a guardare quanto varia la media dei valori "la variazione" si abbassa di molto....più elementi prendi e più la media empirica si avvicinerà alla media vera...diminuendo sempre di più le variazioni in più ed in meno rispetto al valore vero.
PS: la prossima volta un messaggio scritto bene altrimenti evita di postare perché aiuti non ne riceverai.
Devi calcolare questo
$V[(X_1+...+X_n)/n]$
intanto sai che per note proprietà $V(aX)=a^2V(X)$ e $V(X+Y)=V(X)+V(Y)$ (il campione è casuale)...e se non lo sai studiatelo....
Poi sai che ogni $X_i$ è a sua volta una variabile con la stessa distribuzione di X (della popolazione)....quindi tutte le $X_i$ hanno la stessa varianza $sigma^2$
....in fin dei conti avrai che $V[bar(X)]=1/n^2xxnsigma^2=sigma^2/n$
Il "perché" sta nel fatto che andando a guardare quanto varia la media dei valori "la variazione" si abbassa di molto....più elementi prendi e più la media empirica si avvicinerà alla media vera...diminuendo sempre di più le variazioni in più ed in meno rispetto al valore vero.
PS: la prossima volta un messaggio scritto bene altrimenti evita di postare perché aiuti non ne riceverai.
Grazie della risposta
Scusa della domanda stupida ma $X_i$ sono tutti i possibili campioni non i valori di un campione in particolare giusto? Quindi $(X_1 + ... X_n)/(n)$ sono i possibili campioni diviso l'ampiezza campionaria, ogni termine sarebbe la media campionaria di un determinato campione?
Scusa dell'eventuale confusione, grazie.
Scusa della domanda stupida ma $X_i$ sono tutti i possibili campioni non i valori di un campione in particolare giusto? Quindi $(X_1 + ... X_n)/(n)$ sono i possibili campioni diviso l'ampiezza campionaria, ogni termine sarebbe la media campionaria di un determinato campione?
Scusa dell'eventuale confusione, grazie.
Allora, facciamo un attimo di chiarezza...
Abbiamo una popolazione che chiamiamo $X$ che ha una certa distribuzione.....vedrai poi che a volte tale distribuzione è nota altre volte no. Questa popolazione, es una distribuzione Gaussiana, ha dei parametri che la definiscono completamente: media (indicata con $mu$) e varianza, indicata con $sigma^2$
Supponiamo, ad esempio, che la nostra popolazione sia la misura di un determinato oggetto prodotto. La misura vera non la conosce nessuno, ma sappiamo che ha una distribuzione Normale, con media ignota ($mu$) e varianza nota $sigma^2$ nota
Siccome non conosciamo la media cosa facciamo? Estraiamo dalla popolazione un campione casuale di una certa ampiezza, diciamo $n$
Il campione sarà una n-upla $(X_1,X_2,....,X_n)$
La caratteristica di questo campione è di essere una n-upla di variabili casuali tutte indipendenti e tutte con la stessa distribuzione della popolazione (è una ipotesi che devi prendere per buona).
Ora si dimostra che un ottimo stimatore della media non nota $mu$ è la media empirica $bar(X)$ che a sua volta è una variabile casuale di media uguale alla media della popolazione ($mu$) e varianza, come ti ho dimostrato, pari a $sigma^2/n$.
ecc ecc
sono cose un po' strane all'inizio ed è complicato riassumere il tutto in poche righe.....studia per bene e vedrai che pian piano ti saranno chiare...poi siamo qui, per eventuali dubbi ma prima....STUDIO STUDIO STUDIO
Abbiamo una popolazione che chiamiamo $X$ che ha una certa distribuzione.....vedrai poi che a volte tale distribuzione è nota altre volte no. Questa popolazione, es una distribuzione Gaussiana, ha dei parametri che la definiscono completamente: media (indicata con $mu$) e varianza, indicata con $sigma^2$
Supponiamo, ad esempio, che la nostra popolazione sia la misura di un determinato oggetto prodotto. La misura vera non la conosce nessuno, ma sappiamo che ha una distribuzione Normale, con media ignota ($mu$) e varianza nota $sigma^2$ nota
Siccome non conosciamo la media cosa facciamo? Estraiamo dalla popolazione un campione casuale di una certa ampiezza, diciamo $n$
Il campione sarà una n-upla $(X_1,X_2,....,X_n)$
La caratteristica di questo campione è di essere una n-upla di variabili casuali tutte indipendenti e tutte con la stessa distribuzione della popolazione (è una ipotesi che devi prendere per buona).
Ora si dimostra che un ottimo stimatore della media non nota $mu$ è la media empirica $bar(X)$ che a sua volta è una variabile casuale di media uguale alla media della popolazione ($mu$) e varianza, come ti ho dimostrato, pari a $sigma^2/n$.
ecc ecc
sono cose un po' strane all'inizio ed è complicato riassumere il tutto in poche righe.....studia per bene e vedrai che pian piano ti saranno chiare...poi siamo qui, per eventuali dubbi ma prima....STUDIO STUDIO STUDIO
Sisì questo lo so, so che sembra stupido ma mi chiedo se nella formula $Var(\bar X)= (X_i+...+X_n)/(n)=(\sigma^2)/(n)$ quelle $X_i$ sono i diversi campioni (ogni indice rappresenta un diverso campione) oppure ogni indice rappresenta un determinato numero all'interno del campione osservato.
Grazie ancora e scusa del disturbo dovuto alla mia zucca dura
Grazie ancora e scusa del disturbo dovuto alla mia zucca dura
Mi arrendo... 
Ahahahah chiedevo solamente se $X_1+...+X_n$ sono le osservazioni di un solo campione oppure $X_1$ un campione,$X_2$ un altro campione e ancora fino a $X_n$. Probabilmente sono tarato ahah
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