Varianza e coviarianza

[fede.unive]

Salve a tutti,

date due variabili casuali a media nulla e dipendenti, e' noto che

$|\mathbb{E}(XY)| <= \sqrt(\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2))$

Tuttavia mi chiedevo se fosse sempre vero anche

$ \sqrt(\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2))<= 2|\mathbb{E}(XY)| $

Io ho provato a ragionare nel seguente modo. Dal momento che $2\mathbb{E}(XY)= \mathbb{V}(X+Y) - \mathbb{E}(X^2) -\mathbb{E}(Y^2)$, la precedente puo' essere riscritta come

$ \sqrt(\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2))<=| \mathbb{V}(X+Y) - \mathbb{E}(X^2) -\mathbb{E}(Y^2)| $
$ \mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2)<= \mathbb{V}(X+Y)^2 + \mathbb{E}(X^2)^2 +\mathbb{E}(Y^2)^2 - 2\mathbb{V}(X+Y) \mathbb{E}(X^2)-2\mathbb{V}(X+Y)\mathbb{E}(Y^2)+2\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2) $
$ \mathbb{V}(X+Y)^2 + \mathbb{E}(X^2)^2 +\mathbb{E}(Y^2)^2 - 2\mathbb{V}(X+Y) \mathbb{E}(X^2)-2\mathbb{V}(X+Y)\mathbb{E}(Y^2)+\mathbb{E}(X^2)\mathbb{E}(Y^2) >=0 $

Tuttavia qui mi fermo...

Qualcuno sa (innanzitutto) se la disuguaglianza e' sempre vera/falsa o non si puo' dire a priori? grazie

[bassi0902]

Credo che tu abbia perso dei pezzi nella tua assunzione di partenza, quella di $2\mathbb{E}(XY)$... mancano i quadrati delle medie di $X$ e $Y$.