Varianza di uno stimatore

[Ciarro1]

Salve. Vi linko una immagine di un esercizio di statistica che riguarda il calcolo della varianza degli stimatori. Purtroppo non ho mai fatto un calcolo di una varianza con una costante a che però dipende dalla sommatoria avendo l'indice i non posso "portarla fuori" (scusatemi il termine) dalla sommatoria. Oltre a ciò non posso nemmeno spezzare la moltiplicazione in sommatoria di ai e sommatoria di xi. Quindi mi trovo arenato. Ho provato a considerare solo T come variabile e a calcolare la sommatoria tramite la formula E(T^2)-[E(T)]^2 ma non ho raggiunto nessun risultato.
Spero che possiate aiutarmi. Grazie in anticipo

[Lo_zio_Tom]

a)

$V(sum_(i)a_(i)x_(i))=sum_(i)a_(i)^2V(x_(i))=sigma^2sum_(i)a_(i)^2$



b)

$E(sum_(i)a_(i)x_(i))=musum_(i)a_(i)=mu$ se $sum_(i)a_(i)=1$


c) ricordiamo che per ipotesi è $a_(1)+a_(2)=1$ e quindi lo stimatore è

$T=aX_(1)+(1-a)X_(2)$

Quindi:

$V(a_(1)X_(1)+a_(2)X_(2))=a^2sigma^2+(1-a)^2sigma^2=V(T)$

deriviamo rispetto ad $a$, poniamo uguale a zero e risolviamo in $a$

$(partialV(T))/(partial a)=2asigma^2-2(1-a)sigma^2=0$

$a=1/2$

fine

[Ciarro1]

Grazie mille! Sei stato chiaro e preciso