Varianza di media e di somma di variabili
Ciao, amici!
Il mio testo dice che, date le variabili aleatorie mutuamente indipendenti $X_1,···,X_n$, con $X_i$ di distribuzione gaussiana $N(\mu_i,\sigma_i^2)$ per i=1,···,n, definita la variabile
$X=\sum_{i=1}^n X_i$
il valor medio e la varianza di X sono rispettivamente
$\mu=\sum_{i=1}^n \mu_i$ e $\sigma^2=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2$.
In seguito -si noti che qua le notazioni $\sigma^2$ e $\mu$ rappresentano i parametri della distribuzione di ogni singola variabile e non di $X=\sum_{i=1}^n X_i$- dice che una media di variabili casuali mutuamente indipendenti $X_1,···,X_n$, tutte di uguale distribuzione gaussiana $N(\mu,\sigma^2)$ con uguali parametri, del tipo
$\bar X= 1/n \sum_{i=1}^n X_i$ è distribuita $N(\mu,\sigma^2/n)$
mentre io mi sarei erroneamente aspettato, da quanto detto prima, una distribuzione $N(\mu,\sigma^2)$ che mi sembrerebbe verificare la proprietà secondo cui la varianza di una variabile che è somma di n variabili con distribuzione gaussiana è uguale alla somma delle varianze, e che cioè, per $X=n\barX$, mi pare che dovrebbe essere $\sigma^2(X)=\sigma^2(n\barX)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2=n\sigma^2(\barX)=n\sigma^2$ (dove $\sigma_i^2$ è la varianza, sempre naturalmente uguale a se stessa, di $\bar X$), che sarebbe verificata da una varianza $\sigma^2$ di $\bar X$, e non $ \sigma^2/n$.
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegare ad un ignorantone (vengo dal classico e sono felicissimo di aver deciso di rimediare ad un po' di lacune matematico-scientifiche cominciando a leggermi un manuale di matematica ad uso universitario -che ho scoperto essere lo stesso usato da mia sorella che studia biologia-) come me come si spiega questa proprietà?
Grazie di cuore a tutti!
Davide
Il mio testo dice che, date le variabili aleatorie mutuamente indipendenti $X_1,···,X_n$, con $X_i$ di distribuzione gaussiana $N(\mu_i,\sigma_i^2)$ per i=1,···,n, definita la variabile
$X=\sum_{i=1}^n X_i$
il valor medio e la varianza di X sono rispettivamente
$\mu=\sum_{i=1}^n \mu_i$ e $\sigma^2=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2$.
In seguito -si noti che qua le notazioni $\sigma^2$ e $\mu$ rappresentano i parametri della distribuzione di ogni singola variabile e non di $X=\sum_{i=1}^n X_i$- dice che una media di variabili casuali mutuamente indipendenti $X_1,···,X_n$, tutte di uguale distribuzione gaussiana $N(\mu,\sigma^2)$ con uguali parametri, del tipo
$\bar X= 1/n \sum_{i=1}^n X_i$ è distribuita $N(\mu,\sigma^2/n)$
mentre io mi sarei erroneamente aspettato, da quanto detto prima, una distribuzione $N(\mu,\sigma^2)$ che mi sembrerebbe verificare la proprietà secondo cui la varianza di una variabile che è somma di n variabili con distribuzione gaussiana è uguale alla somma delle varianze, e che cioè, per $X=n\barX$, mi pare che dovrebbe essere $\sigma^2(X)=\sigma^2(n\barX)=\sum_{i=1}^n \sigma_i^2=n\sigma^2(\barX)=n\sigma^2$ (dove $\sigma_i^2$ è la varianza, sempre naturalmente uguale a se stessa, di $\bar X$), che sarebbe verificata da una varianza $\sigma^2$ di $\bar X$, e non $ \sigma^2/n$.
Qualcuno sarebbe così gentile da spiegare ad un ignorantone (vengo dal classico e sono felicissimo di aver deciso di rimediare ad un po' di lacune matematico-scientifiche cominciando a leggermi un manuale di matematica ad uso universitario -che ho scoperto essere lo stesso usato da mia sorella che studia biologia-) come me come si spiega questa proprietà?
Grazie di cuore a tutti!
Davide
Risposte
Devi tener conto della proprietà della varianza
[tex]\text{Var}[aX]=a^2\text{Var}[X][/tex],
dove [tex]X[/tex] è una v.a. e [tex]a[/tex] uno scalare. Potresti dimostrarlo come esercizio, non è molto difficile.
[tex]\text{Var}[aX]=a^2\text{Var}[X][/tex],
dove [tex]X[/tex] è una v.a. e [tex]a[/tex] uno scalare. Potresti dimostrarlo come esercizio, non è molto difficile.
Grazie di cuore, Luca!
$\sigma^2(X)=Var[aX]=E[(aX-E[aX])^2]=E[(aX-aE[X])^2]=E[a^2(X-E[X])^2]=a^2Var[X]$
Grazie ancora!!!
Davide
$\sigma^2(X)=Var[aX]=E[(aX-E[aX])^2]=E[(aX-aE[X])^2]=E[a^2(X-E[X])^2]=a^2Var[X]$
Grazie ancora!!!
Davide
Qualcuno mi potrebbe spiegare in due parole semplici quella proprietà di cui parla luca.barletta? Cosa vuol dire "a" è uno scalare?
In inglese ho trovato questo: If all values are scaled by a constant, the variance is scaled by the square of that constant.
Grazie
In inglese ho trovato questo: If all values are scaled by a constant, the variance is scaled by the square of that constant.
Grazie
Ma perche $a$ viene elevata al quadrato?
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