Varianza del prodotto di variabili indipendenti

[giacomo.bezzi]

Salve a tutti,

ho trovato in rete la seguente:

$Var(x*y)=[E(x)]^2*Var(y) + [E(y)]^2*Var(x) + Var(x)*Var(y)$ con $x$ e $y$ indipendenti

non ho trovato però nessuna dimostrazione e tantomeno sono riuscito a fare la dimostrazione da me...

Mi appello al vostro aiuto per capire questa relazione, dato che non capisco come si ottenga questa relazione.

Ho invece provato partendo da questa relazione (supponendo che sia corretta) a trovare $Var(x*y*z)$ sempre con variabili indipendenti, ottenendo:

$Var(x*y*z)=[E(x)]^2[E(y)]^2*Var(z) + [E(x)]^2[E(z)]^2*Var(y) + [E(y)]^2[E(z)]^2*Var(x) + [E(x)]^2*Var(y)*Var(z) + [E(y)]^2*Var(x)*Var(z) + [E(z)]^2*Var(x)*Var(y) + Var(x)*Var(y)*Var(z)$

Ma avrei bisogno di capire se è corretto...

Vi ringrazio in anticipo

[DajeForte]

$Var[XY]=E[X^2Y^2]-E^2[XY]$ sviluppa e tieni conto che $X$ e $Y$ sono indipendenti (e quindi anche i loro quadrati)

[kaarot89]

Se ho risolto bene alla fine dovrebbe trovarsi 2*Var(x)*Var(y)

[DajeForte]

"kaarot89":Se ho risolto bene alla fine dovrebbe trovarsi 2*Var(x)*Var(y)

No è sbagliato

[kaarot89]

Ok ho rifatto i calcoli e mi trovo:

$Var(X*Y) = Var(X)*Var(Y) + (E(Y))^2 * Var(X) + (E(X))^2 * Var(Y)$

questa volta credo sia corretto...dunque la relazione di inizio discussione è corretta