Varianza del coseno
Ciao a tutti, una domanda veloce: ho la funzione $a(t) = 1/2cos(wt) + 1/2$ di cui devo trovare la varianza.
Ho pensato di trovarla come differenza tra potenza statistica e la media al quadrato.
per la potenza statistica si ha:
$M_a = \int t^2 (1/2cos(wt) + 1/2)dt = 1/6(6tcos(wt))/w^2 + 3((tw)^2 - 2)sin(wt)/w^3 + t^3$ (integrazione fatta con wolfram alfa)
immagino di dover integrare su un periodo, quindi come estremi di integrazione prendo 0 e 1. Così ottengo $M_a = 1$
Mentre la media al quadrato è certamente $1/4$. Quindi ottendo una varianza di 3/4. Il problema è che deve venir fuori una varianza pari ad 1/2.
Cosa c'è che non torna ??
Grazie a tutti!
Ho pensato di trovarla come differenza tra potenza statistica e la media al quadrato.
per la potenza statistica si ha:
$M_a = \int t^2 (1/2cos(wt) + 1/2)dt = 1/6(6tcos(wt))/w^2 + 3((tw)^2 - 2)sin(wt)/w^3 + t^3$ (integrazione fatta con wolfram alfa)
immagino di dover integrare su un periodo, quindi come estremi di integrazione prendo 0 e 1. Così ottengo $M_a = 1$
Mentre la media al quadrato è certamente $1/4$. Quindi ottendo una varianza di 3/4. Il problema è che deve venir fuori una varianza pari ad 1/2.
Cosa c'è che non torna ??
Grazie a tutti!
Risposte
Io avrei fatto così (ma poi il risultato non tornerebbe comunque... 
):
$Var{a(t)} = Var{1/2cos(wt) + 1/2}=1/4 Var{cos(wt)}=1/4*1/2=1/8$
$Var{cos(wt)}=E{[cos(wt)-E{cos(wt)}]^2}=E{cos^2(wt)}=1/(2pi) \int_0^(2pi)cos^2 x *dx=1/2$
(ho assunto $t$ con distribuzione uniforme sul periodo $(2pi)/w$)
):$Var{a(t)} = Var{1/2cos(wt) + 1/2}=1/4 Var{cos(wt)}=1/4*1/2=1/8$
$Var{cos(wt)}=E{[cos(wt)-E{cos(wt)}]^2}=E{cos^2(wt)}=1/(2pi) \int_0^(2pi)cos^2 x *dx=1/2$
(ho assunto $t$ con distribuzione uniforme sul periodo $(2pi)/w$)
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