Varianza, covarianza e propagazione delle incertezze
Ciao dovrei svolgere questo esercizio:
Date le tre variabili indipendenti $X_1 = (13 ± 3) u, X_2 = (7 ± 1) u$ e $X_3 = (−5.5 ± 0.5) u$ (con u=
unità di misura), determinare valore aspettato e deviazione standard delle variabili $Y_1 = (X_1^2 +X_2X_3)$ e $Y_2 = ( \frac{X_1X_2}{4} − X_3^2)$ e valutare se una o entrambe le variabili siano compatibili con zero. Si determini inoltre la covarianza tra $Y_1$ e $Y_2$.
Per calcolarmi il valore atteso di $Y_1$ e $Y_2$ ho banalmente sostituito le variabili casuali $X_1, X_2, X_3$ ottenendo questi due valori:
$E[Y_1] = 130.5 u^2$
$E[Y_2] = -7.5 u^2$
Per il calcolo della varianza di $Y_1$ e $Y_2$ nelle soluzioni utilizza questa formula:
$Var[Y_1] = \sum_{i=1}^3 (\frac{∂Y_1}{∂X_i})^2 \cdot Var[X_i]$ il cui risultato finale dà: $(2μ_1)^2σ_1^2 + μ_3^2σ_2^2 + μ_2^2σ_3^2 = 6126.5u$
\[
\boxed{\sigma^{2}(Z) \approx\left(\frac{\partial Z}{\partial X}\right)^{2} \sigma^{2}(X)+\left(\frac{\partial Z}{\partial Y}\right)^{2} \sigma^{2}(Y)}\]
La formula "particolare" che ha utilizzato nel problema, deriva da questa vero?
Ad ogni modo da quel che vedo fa le derivate parziali rispetto a $X_1, X_2, X_3$ e poi aggiunge $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ che sono le varianze rispettivamente di $X_1, X_2, X_3$. Non capisco però da dove escano i vari $\mu$
Grazie della disponibilità e spero che il messaggio sia sufficientemente chiaro
Date le tre variabili indipendenti $X_1 = (13 ± 3) u, X_2 = (7 ± 1) u$ e $X_3 = (−5.5 ± 0.5) u$ (con u=
unità di misura), determinare valore aspettato e deviazione standard delle variabili $Y_1 = (X_1^2 +X_2X_3)$ e $Y_2 = ( \frac{X_1X_2}{4} − X_3^2)$ e valutare se una o entrambe le variabili siano compatibili con zero. Si determini inoltre la covarianza tra $Y_1$ e $Y_2$.
Per calcolarmi il valore atteso di $Y_1$ e $Y_2$ ho banalmente sostituito le variabili casuali $X_1, X_2, X_3$ ottenendo questi due valori:
$E[Y_1] = 130.5 u^2$
$E[Y_2] = -7.5 u^2$
Per il calcolo della varianza di $Y_1$ e $Y_2$ nelle soluzioni utilizza questa formula:
$Var[Y_1] = \sum_{i=1}^3 (\frac{∂Y_1}{∂X_i})^2 \cdot Var[X_i]$ il cui risultato finale dà: $(2μ_1)^2σ_1^2 + μ_3^2σ_2^2 + μ_2^2σ_3^2 = 6126.5u$
\[
\boxed{\sigma^{2}(Z) \approx\left(\frac{\partial Z}{\partial X}\right)^{2} \sigma^{2}(X)+\left(\frac{\partial Z}{\partial Y}\right)^{2} \sigma^{2}(Y)}\]
La formula "particolare" che ha utilizzato nel problema, deriva da questa vero?
Ad ogni modo da quel che vedo fa le derivate parziali rispetto a $X_1, X_2, X_3$ e poi aggiunge $\sigma_1, \sigma_2, \sigma_3$ che sono le varianze rispettivamente di $X_1, X_2, X_3$. Non capisco però da dove escano i vari $\mu$
Grazie della disponibilità e spero che il messaggio sia sufficientemente chiaro
Risposte
E' un esercizio di un argomento che proprio non mi piace e che non ho mai studiato prima...quindi ho dovuto guardare l'argomento.
Per quanto riguarda la formula della varianza penso che questa lettura faccia al caso tuo e comunque la risposta è sì, tale formula si trova a pag 112 ed è anche dimostrata.
Nella dispensina trovi tutto quanto ti serve, anche perché l'ho cercata senza perderci troppo tempo, l'ho letta molto molto frettolosamente ed ho trovato la quadra con la soluzione postata dal (penso) libro
Per quanto riguarda la formula della varianza penso che questa lettura faccia al caso tuo e comunque la risposta è sì, tale formula si trova a pag 112 ed è anche dimostrata.
Nella dispensina trovi tutto quanto ti serve, anche perché l'ho cercata senza perderci troppo tempo, l'ho letta molto molto frettolosamente ed ho trovato la quadra con la soluzione postata dal (penso) libro
Per quanto riguarda le unità di misura faccio mea culpa. Le unità di misura corrette sono $u^2$ per il valore atteso e $u^4$ per la varianza. Ti allego la foto del resto della risoluzione, così da essere più chiara.
Grazie mille per le dispense che mi hai inviato, ora me le guardo
Grazie mille per le dispense che mi hai inviato, ora me le guardo
nelle dispensine allegate trovi tutto ciò che ti serve.
Le medie delle 2 v.a. sono quelle che hai calcolato.
Le varianze delle singole v.a. sono calcolate così: $sigma_{X_i}^2=((\max(X_i)-min(X_i))/2)^2$
quindi per $Y_1$ hai
$\mathbb(V)(Y_1)=(2xx13)^2xx3^2+(-5.5)^2xx1^2+7^2xx0.5^2=6126.5$
I vari $mu$ sono appunto le medie che hai calcolato, assunti come i "veri" valori delle variabili.
et cetera et cetera
Questo non è proprio un argomento di Statistica ma è più un'applicazione piuttosto empirica della Statistica a campi diversi da essa, ad esempio laboratorio di fisica
Ecco anche una tabellina con tutti i calcoli per controllo
l'ho fatta con excel perché farli a mano è una palla assurda...
Le medie delle 2 v.a. sono quelle che hai calcolato.
Le varianze delle singole v.a. sono calcolate così: $sigma_{X_i}^2=((\max(X_i)-min(X_i))/2)^2$
quindi per $Y_1$ hai
$\mathbb(V)(Y_1)=(2xx13)^2xx3^2+(-5.5)^2xx1^2+7^2xx0.5^2=6126.5$
I vari $mu$ sono appunto le medie che hai calcolato, assunti come i "veri" valori delle variabili.
et cetera et cetera
Questo non è proprio un argomento di Statistica ma è più un'applicazione piuttosto empirica della Statistica a campi diversi da essa, ad esempio laboratorio di fisica
Ecco anche una tabellina con tutti i calcoli per controllo
l'ho fatta con excel perché farli a mano è una palla assurda...
Ok grazie mille. Ricapitolo e faccio tutti i passaggi così da vedere se ho capito:
Mi calcolo le tre $Var[X_i]$:
$Var[X_1] = (\frac{(13+3)-(13-3)}{2})^2 = (\frac{6}{2})^2 = 3^2$
$Var[X_2] = (\frac{(7+1)-(7-1)}{2})^2 = (\frac{2}{2})^2 = 1^2$
$Var[X_3] = (\frac{(-5.5+0.5)-(-5.5-0.5)}{2})^2 = (\frac{-5.0+6.0}{2})^2 = \frac{1}{2} = 0.5^2$
$Var[Y_1] = (\frac{\partial Y_1}{\partial X_1})^2 \sigma_1^2 + (\frac{\partial Y_1}{\partial X_2})^2 \sigma_2^2 + (\frac{\partial Y_1}{\partial X_3})^2 \sigma_3^2 = (2X_1)^2 \sigma_1^2 + X_3^2\sigma_2^2 + X_2^2 \sigma_3^2= ( 2 \cdot 13)^2 \cdot 3^2 + (-5.5)^2 \cdot 1^2 + (7)^2 \cdot 0.5^2 = 6126.5 u^4 $
$Var[Y_2] = (\frac{\partial Y_2}{\partial X_1})^2 \sigma_1^2 + (\frac{\partial Y_2}{\partial X_2})^2 \sigma_2^2 + (\frac{\partial Y_2}{\partial X_3})^2 \sigma_3^2 = (\frac{X_2}{4})^2 \sigma_1^2 + (\frac{X_1}{4})^2 \sigma_2^2 - 2X_3\sigma_3^2 = (\frac{7}{4})^2 \cdot 3^2 + (\frac{13}{4})^2 \cdot 1^2 + (-2(-5.5))^2 \cdot 0.5^2 = 68.375 u^4$
$Cov[Y_1,Y_2] = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial Y_1}{\partialX_i}frac{\partial Y_2}{\partialX_i} Var[X_i] = \frac{\partial Y_1}{\partialX_1}frac{\partial Y_2}{\partialX_1} Var[X_1] + \frac{\partial Y_1}{\partialX_2}frac{\partial Y_2}{\partialX_2} Var[X_2] + \frac{\partial Y_1}{\partialX_3}frac{\partial Y_2}{\partialX_3} Var[X_3] = (2X_1) \cdot \frac{X_2}{4} \cdot 3^2 + X_3 \cdot \frac{X_1}{4} \cdot 1^2 + X_2 \cdot (-2X_3) \cdot 0.5^2 = 410.875 u^2$
Hai fatto benissimo a farle con Excel, quando avrò imparato a farle bene a mano, inizierò a farle anche io al computer
Comunque perdonami per la pedanteria, perdonami se esplicito tutti quanti i passaggi, ma è una materia che mi è veramente ostica e qualsiasi passaggio sottinteso mi manda in confusione
. Scriverli tutti quanti serve sia a me per vedere se ho capito, sia per aiutare gli eventuali avventori che odiano questa materia quanto me.
Ho un dubbio: ma le varianze non si possono calcolare anche a partire dai valori attesi?
Mi calcolo le tre $Var[X_i]$:
$Var[X_1] = (\frac{(13+3)-(13-3)}{2})^2 = (\frac{6}{2})^2 = 3^2$
$Var[X_2] = (\frac{(7+1)-(7-1)}{2})^2 = (\frac{2}{2})^2 = 1^2$
$Var[X_3] = (\frac{(-5.5+0.5)-(-5.5-0.5)}{2})^2 = (\frac{-5.0+6.0}{2})^2 = \frac{1}{2} = 0.5^2$
$Var[Y_1] = (\frac{\partial Y_1}{\partial X_1})^2 \sigma_1^2 + (\frac{\partial Y_1}{\partial X_2})^2 \sigma_2^2 + (\frac{\partial Y_1}{\partial X_3})^2 \sigma_3^2 = (2X_1)^2 \sigma_1^2 + X_3^2\sigma_2^2 + X_2^2 \sigma_3^2= ( 2 \cdot 13)^2 \cdot 3^2 + (-5.5)^2 \cdot 1^2 + (7)^2 \cdot 0.5^2 = 6126.5 u^4 $
$Var[Y_2] = (\frac{\partial Y_2}{\partial X_1})^2 \sigma_1^2 + (\frac{\partial Y_2}{\partial X_2})^2 \sigma_2^2 + (\frac{\partial Y_2}{\partial X_3})^2 \sigma_3^2 = (\frac{X_2}{4})^2 \sigma_1^2 + (\frac{X_1}{4})^2 \sigma_2^2 - 2X_3\sigma_3^2 = (\frac{7}{4})^2 \cdot 3^2 + (\frac{13}{4})^2 \cdot 1^2 + (-2(-5.5))^2 \cdot 0.5^2 = 68.375 u^4$
$Cov[Y_1,Y_2] = \sum_{i=1}^3 \frac{\partial Y_1}{\partialX_i}frac{\partial Y_2}{\partialX_i} Var[X_i] = \frac{\partial Y_1}{\partialX_1}frac{\partial Y_2}{\partialX_1} Var[X_1] + \frac{\partial Y_1}{\partialX_2}frac{\partial Y_2}{\partialX_2} Var[X_2] + \frac{\partial Y_1}{\partialX_3}frac{\partial Y_2}{\partialX_3} Var[X_3] = (2X_1) \cdot \frac{X_2}{4} \cdot 3^2 + X_3 \cdot \frac{X_1}{4} \cdot 1^2 + X_2 \cdot (-2X_3) \cdot 0.5^2 = 410.875 u^2$
"tommik":
l'ho fatta con excel perché farli a mano è una palla assurda...
Hai fatto benissimo a farle con Excel, quando avrò imparato a farle bene a mano, inizierò a farle anche io al computer
Comunque perdonami per la pedanteria, perdonami se esplicito tutti quanti i passaggi, ma è una materia che mi è veramente ostica e qualsiasi passaggio sottinteso mi manda in confusione
. Scriverli tutti quanti serve sia a me per vedere se ho capito, sia per aiutare gli eventuali avventori che odiano questa materia quanto me.Ho un dubbio: ma le varianze non si possono calcolare anche a partire dai valori attesi?
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