Varianza corretta

[anyram]

Salve,
ho un dubbio relativo alla teoria più che altro.
Il calcolo della varianza campionaria corretta nel caso in cui la media della popolazione da cui è stato estratto il campione è $1/(n-1)*\Sigma(Xj-X)^2$ dove X è la media campionaria calcolata sul campione come $\Sigma(Xj)/n$.
Nel caso invece in cui la media vera della popolazione $\mu$ è nota, la varianza corretta è $1/n*\Sigma(Xj-X)^2$? Oppure si calcola sempre dividendo per n-1 come nel caso precedente?

[walter891]

quando si parla di stimatori quello corretto è sempre $S^2=1/(n-1)\sum_(j=1)^n (X_j-mu)^2$, te ne puoi accorgere calcolando il suo valore atteso $E[S^2]=sigma^2$

[anyram]

"walter89":quando si parla di stimatori quello corretto è sempre $S^2=1/(n-1)\sum_(j=1)^n (X_j-mu)^2$, te ne puoi accorgere calcolando il suo valore atteso $E[S^2]=sigma^2$

Il dubbio mi è sorto davanti a questo esercizio: per verificare la precisione di uno strumento di misura si effettuano le seguenti 5 misure: 2781 - 2836 - 2807 - 2763 - 2858. Si calcoli una stima corretta della varianza degli errori, nell'ipotesi che lo strumento non commetta errori sistematici.
"nell'ipotesi che lo strumento non commetta errori sistematici" mi dice che la media della popolazione da cui il campione di 5 misure è tratto è nota cioè: $\mu=0$. A primo impatto anche io ho proceduto calcolando la media campionaria come $\Sigma(Xj)/n$ e poi la varianza come $\Sigma(Xj-X)^2/(n-1)$, ma mi sono resa conto che ho terminato l'esercizio senza considerare l'informazione della media $\mu=0$ e mi sono ricordata di aver sentito o letto da qualche parte che quando la media è nota la varianza corretta si calcola dividendo per n ...tu dici che mi sto sbagliando e si calcola in ogni caso con n-1? e allora quell'informazione nell'esercizio a cosa mi serve?

[anyram]

"Sergio":
Si divide per \(n\), ma questo vale se la distribuzione della popolazione è normale, non in generale.

però nel caso dell'esercizio che ho scritto nel commento precedente, è una distribuzione di errori che so essere normale. Quindi è corretto dividere per n?
L'esercizio è:

"Anyram":per verificare la precisione di uno strumento di misura si effettuano le seguenti 5 misure: 2781 - 2836 - 2807 - 2763 - 2858. Si calcoli una stima corretta della varianza degli errori, nell'ipotesi che lo strumento non commetta errori sistematici.

"Sergio":Nel caso di popolazione normale con media nota, ∑i(xi−μ)2/n è un'altra statistica campionaria

ma quindi la varianza corretta io devo calcolarla con questa formula? quindi mettendo al posto di $μ$ zero?

[anyram]

"Sergio":
Secondo me è ragionevole assumere una distribuzione normale, ma "assenza di errori sistematici" non vuol dire \(\mu=0\)!
Vuol solo dire che in media lo strumento ti dà misure che oscillano intorno alla media di popolazione, che però ignori.
Se le misure sono quelle indicate, tutte oscillanti tra 2763 e 2858, come fai a pensare che la misura "vera" (la media della popolazione) sia zero?

Sul mio libro è scritto che se ci sono solo errori casuali, quindi niente errori sistematici, allora la media degli errori è nulla. E molti esercizi sono svolti a partire da questa assunzione, perciò anche io ho fatto questa assunzione.

Anzi, ti riporto proprio come è scritto sul libro, non vorrei aver frainteso (anche se non credo, perchè poi quando fa degli esempi svolti lo dice in maniera chiara): "Definiamo errore aleatorio la v.a. Z, di media nulla, ottenuta dalla differenza Xi-μ tra l'osservazione Xi -immune da errori sistematici- della grandezza e il valore μ della stessa. In virtù della sua genesi,l'errore di misura presenta una regolarità statistica conforme al modello Gaussiano (di media nulla). "

[anyram]

Grazie.