Varianza Campionaria Distribuzione e proprietà

[Andre----98]

Salve qualcuno mi potrebbe spiegare come si distribuisce la varianza campionaria, e in particolare le sue proprietà.
Sul libro distingue due casi: il caso con la media nota e quello con la media incognita. Sono riuscito soltanto a dimostrare, con il caso con la media nota, che la varianza campionaria è uno stimatore corretto.
Volevo dimostrare che è anche consistente in media quadtratica, in questo modo
$ MSE(hat(σ) ^2, σ^2)=Var(hat(σ)^2)=(1/n)^2... $
ma da qui in poi non so come si fa.

[Lo_zio_Tom]

dunque non so se è una richiesta che ti è stata fatta oppure è una tua curiosità. Ad ogni modo è meglio partire dal calcolo di media e varianza della varianza campionaria "non corretta", quella divisa per n, per intenderci.

Se per calcolarne la media consideri che vale la seguente uguaglianza

$sum_i (X_i-mu)^2=sum_i (X_i-bar(X))^2+n(bar(X)-mu)$

da cui, facendo il valore atteso trovi subito

$nV(X)=nE(hat(S)^2)+nV(bar(X))$

e quindi

$E(hat(S)^2)=sigma^2-sigma^2/n=(n-1)/nsigma^2$

da cui subito hai anche la tesi che hai già dimostrato, ovvero che $S^2=n/(n-1)S^2$ è uno stimatore corretto di $sigma^2$


Ora, se partirti dal fatto che $V(hat(S)^2)=E(hat(S)^4)-E^2(hat(S)^2)$ e consideri l'uguaglianza precedente dovresti riuscirci....fai conto che sono conti lunghi e moolto noiosi (ed è per questo che nella maggior parte dei testi sono tralasciati, io li feci a suo tempo, ma non so se mi ci rimetterei....)

Per quanto riguarda invece la distribuzione di $S^2$ essa in generale non è nota.

Se invece, ad esempio, il modello è Gaussiano, allora

$U=((n-1)S^2)/sigma^2~chi_((n-1))^2$

ed essendo $S^2$ una funzione lineare di $U$ si può facilmente derivare la densità di $S^2$ per trasformazione lineare della densità di $U$ ottenendo con pochi calcoli

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$f_(S^2)(y)=((n-1)/(2sigma^2))^((n-1)/2) 1/(Gamma((n-1)/2)) y^((n-3)/2) e^((-(n-1)y)/(2sigma^2))I_((0;+oo))(y)$

[/size]

Ciao