Varianza

[maybe1]

teorema
$ ul(X) =(X_1,...,X_n)$ campione casuale
$X$ genitrice del campione
$ X~ N(mu,sigma^2) $
dette $ bar(X) $ la media campionaria e $S^2$ la varianza campionaria
si dimostra che
(1)$ bar(X)~ N(mu,sigma^2/n) $
(2) $ (n-1)*S^2 / sigma^2 $ $ ~ chi_(n-1)^2 $
il professore del punto due ha fatto il seguente commento:
$ (n-1)*S^2 / sigma^2 $= $ sum_(i = 1)^(n) ((X_i- bar(X)) / sigma)^2 $
quindi dice che :
$ ((X_i- bar(X)) / sigma) $ è una gaussiana standard .
in effetti mi trovo che è una gaussiana(perchè differenza di due gaussiane) e la media vale zero
ma la varianza come si calcola?
non riesco a capire come possa venire uno?!

Grazie a chi mi vorrà dare una mano !!!

[Gatto891]

Forse ti manca questo risultato: se $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ e $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$, dati $a, b \in RR$ hai che $aX_1 +bX_2 \sim N(a\mu_1 +b\mu_2, a^2\sigma_1^2 +b^2\sigma_2^2)$.

Mi sembra si dimostri in modo non troppo complicato dalla funzione generatrice dei momenti, e può essere generalizzato facilmente alla combinazione lineare di $n$ variabili normali.

[maybe1]

"Gatto89":Forse ti manca questo risultato: se $X_1 \sim N(\mu_1, \sigma_1^2)$ e $X_2 \sim N(\mu_2, \sigma_2^2)$, dati $a, b \in RR$ hai che $aX_1 +bX_2 \sim N(a\mu_1 +b\mu_2, a^2\sigma_1^2 +b^2\sigma_2^2)$.

Mi sembra si dimostri in modo non troppo complicato dalla funzione generatrice dei momenti, e può essere generalizzato facilmente alla combinazione lineare di $n$ variabili normali.

grazie, non l'avevo fatta. sul libro è chiamata proprietà riproduttiva.
il problema è che non mi trovo... per piacere dimmi dove sbaglio
dunque voglio calcolare Var($Y$) dove $ Y=(X_i- bar(X))/sigma=1/sigma*X_i-1/sigma*bar(X) $
il primo dubbio è :
sul libro c'è scritto che le le v.c. normali di cui faccio la combinazione lineare devono essere indipendenti, ma $X_i$ e $ bar(X) $ sono indipendenti?
la media campionaria , $ bar(X) $, è una statistica quindi è una funzione del campione casuale, posso dire che $X_i$ e $ bar(X) $ sono indipendenti?
poi, secondo la proprietà riproduttiva
$Var(Y)=1/sigma^2*sigma^2+1/sigma^2*sigma^2/n=1+1/n$
il prof ci disse che $Y$ è una gaussiana standard quindi $Var(Y)$ dovrebbe venire 1...
scusa ma sono un po' limitata ... ti ringrazio se mi vorrai dare una mano...

[cenzo1]

"maybe":ma $X_i$ e $\barX$ sono indipendenti?

Non sono indipendenti. Puoi dimostare che hanno covarianza $Cov(X_i,\barX)=\sigma^2/n$
Anche tenendo conto di ciò, comunque la varianza di $Y=((X_i- bar(X)) / sigma)$ non viene $1$ ma $1-1/n$
Il problema è che $Y$ non è una gaussiana standard.
Se fosse così avresti che $ (n-1)*S^2 / sigma^2 $= $ sum_(i = 1)^(n) ((X_i- bar(X)) / sigma)^2 $ sarebbe la somma di n gaussiane standard, e quindi avresti una $chi_(n)^2 $ con $n$ gradi di libertà, invece che $n-1$, come è noto.

Penso che il prof. volesse solo dire che la quantità $ sum_(i = 1)^(n) ((X_i- bar(X)) / sigma)^2 $ (somma di n "pezzi") si può esprimere (con qualche manipolazione algebrica...) come la somma di $n-1$ quadrati di v.a. normali standard indipendenti, da cui $ (n-1)*S^2 / sigma^2 $ è distribuita come una $chi_(n-1)^2 $ con $n-1$ gradi di libertà.

Ciao

[maybe1]

grazie grazie grazie!!! mi trovo con il tuo ragionamento !