Variante della formula della probabilità totale

[Angus1956]

Sia \( (\Omega, \cal {F} , P) \) uno spazio di probabilità e siano \( A, B, C \in \cal F \) tali che $P(B), P(C) > 0, P(BuuC) = 1$ e $P(BnnC) = 0$. Dimostrare che $P(A) = P(A|B)P(B) + P(A|C)P(C)$.

Abbiamo che $P(A)=P((Ann(BuuC))uu(Ann(BuuC)^C))=P(Ann(BuuC))+P(Ann(BuuC)^C)$, ora si ha che $Ann(BuuC)^Csube(BuuC)^C$ e $P((BuuC)^C)=0$ poichè $P(BuuC) = 1$, quindi per monotonia $P(Ann(BuuC)^C)=0$. Inoltre si ha che $P(Ann(BuuC))=P(AnnC)+P(AnnB)-P(Ann(BnnC))$, ma $Ann(BuuC)subeBuuC$ e per lo stesso discorso di prima $P(Ann(BnnC))=0$, per cui $P(Ann(BuuC))+P(Ann(BuuC)^C)=P(AnnC)+P(AnnB)=P(A|B)P(B) + P(A|C)P(C)$

Va bene?